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Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 Géométrie

oui
non
S
Année 2018
Liban
Géométrie

Exercice 3 4 points


GéométrieCommun à tous les candidats


L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant \(t\), exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point \(S_1(t)\) et le second sous-marin est repéré par le point \(S_2(t)\) dans un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)\) dont l'unité est le mètre. Ex3 Liban
Le plan défini par \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) représente la surface de la mer. La cote \(z\) est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

  1. On admet que, pour tout réel \(t \geqslant 0\), le point \(S_1(t)\) a pour coordonnées: \[\left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& \phantom{-}140 - 60t\\ y(t) &=& \phantom{-}105 - 90t\\ z(t) &=& -170 - 30 t \end{array}\right.\]
    1. Donner les coordonnées du sous- marin au début de l'observation.
    2. Quelle est la vitesse du sous-marin ?
    3. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. Déterminer l'angle \(\alpha\) que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal. On donnera l'arrondi de \(\alpha\) à \(0,1\) degré près.
      Ex3 Liban2
  2. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point \(S_2(0)\) de coordonnées \((68~;~135~;~- 68)\) et atteint au bout de trois minutes le point \(S_2(3)\) de coordonnées \((-202~;~-405~;~ - 248)\) avec une vitesse constante. À quel instant \(t\), exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?
 
 

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

Géométrie


L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant \(t\), exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point \(S_1(t)\) et le second sous-marin est repéré par le point \(S_2(t)\) dans un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)\) dont l'unité est le mètre. Ex3 Liban
Le plan défini par \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) représente la surface de la mer. La cote \(z\) est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

  1. On admet que, pour tout réel \(t \geqslant 0\), le point \(S_1(t)\) a pour coordonnées: \[\left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& \phantom{-}140 - 60t\\ y(t) &=& \phantom{-}105 - 90t\\ z(t) &=& -170 - 30 t \end{array}\right.\]
    1. Donner les coordonnées du sous- marin au début de l'observation.
    2. Quand \(t=0\) alors le sous-marin a pour coordonnées \(A(140,105,-170)\).
      \(\quad\)
    3. Quelle est la vitesse du sous-marin ?
    4. Le vecteur vitesse du sous marin est \(\vec{V_1}(-60;-90;-30)\).
      La vitesse du sous-marin est donc \(v_1=\sqrt{(-60)^2+(-90)^2+(-30)^2}\) \(=\sqrt{12~600}\) \(=30\sqrt{14}\).
      \(\quad\)
    5. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. Déterminer l'angle \(\alpha\) que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal. On donnera l'arrondi de \(\alpha\) à \(0,1\) degré près.
      Ex3 Liban2
    6. On considère le point \(B(80,15,-200)\) quand \(t=1\) et le point \(C(80,15,-170)\).
      Le plan \((ABC)\) correspond donc au plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
      On a alors \(\vec{AB}(-60;-90;-30)\) et \(\vec{AC}(-60;-90;0)\).
      Donc \(AB=\sqrt{12~600}\) et \(AC=\sqrt{11~700}\)
      D’une part \(\vec{AB}.\vec{AC}=-60\times (-60)+(-90)\times (-90)+0=11~700\).
      D’autre part \(\vec{AB}.\vec{AC}=\sqrt{12~600}\times \sqrt{11~700}\cos \alpha\).
      Ainsi \(\cos \alpha =\dfrac{11~700}{\sqrt{12~600}\times \sqrt{11~700}}=\dfrac{\sqrt{11~700}}{\sqrt{12~600}}\)
      Par conséquent \(\alpha \approx 15,5\)°
      \(\quad\)
  2. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point \(S_2(0)\) de coordonnées \((68~;~135~;~- 68)\) et atteint au bout de trois minutes le point \(S_2(3)\) de coordonnées \((-202~;~-405~;~ - 248)\) avec une vitesse constante. À quel instant \(t\), exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?
  3. La vitesse du second sous-marin est constante.
    Par conséquent le point \(S_2(t)\) a pour coordonnées :
    \[\begin{cases} x(t)=68+at\\y(t)=135+bt\\z(t)=-68+ct\end{cases}\]
    On sait que \(S_2(3)\) a pour coordonnées \((-202;-405;-248)\).
    Ainsi
    \(\begin{cases} 68+3a=-202\\135+3b=-405\\-68+3t=-248\end{cases} \iff \begin{cases} a=-90\\b=-180\\c=-60\end{cases}\).
    le point \(S_2(t)\) a pour coordonnées :
    \[\begin{cases} x(t)=68-90t\\y(t)=135-180t\\z(t)=-68-60t\end{cases}\]
    \(\quad\)
    Les deux sous-marins sont à la même profondeur quand :
    \(-170-30t=-68-60t \iff 30t=102 \iff t=3,4\)
    Les deux sous-marins sont à la même profondeur au bout de \(3\) min \(24\) s.
    \(\quad\)

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