SUJET ORAL TSTI2D 18

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Fonction ln
 

Oral 18 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice Etude d'une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[f(x)=\frac{\ln x}{x^2}\]

  1. Vérifier que la dérivée \(f'\) est donnée par \(f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\)
  2. Résoudre dans \(]0;+\infty[\) l'inéquation \(1-2\ln x>0\)
  3. En déduire le tableau des variations de \(f\)
  4. Calculer, en simplifiant au maximum, les images de : \[\frac{1}{2} \qquad ;\qquad 4 \qquad ;\qquad 2e \]



Exercice

  1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : \(I=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} cos(2x) \, dx \)
  2. Soit \(f\) définie sur \(]-2;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{x+2}\)
    1. Démontrer que \(f(x)=\dfrac{7}{x+2}+x-4\)
    2. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, dx\)

 

 

Correction Oral 18 STI2D

Exercice

Etude d'une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[f(x)=\frac{\ln x}{x^2}\]

  1. Vérifier que la dérivée \(f'\) est donnée par \(f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\)

  2. On a \(f=\dfrac{u}{v}\) donc \(f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\)
    Ici \(u(x)=\ln x\) et \(v(x)=x^2\)
    donc \(u'(x)=\dfrac{1}{x} \) et \(v'(x)=2x\).
    Ainsi \(f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-2x \ln x }{x^4}=\dfrac{x(1-2\ln x)}{x\times x^3}=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\)
  3. Résoudre dans \(]0;+\infty[\) l'inéquation \(1-2\ln x > 0\)

  4. \(1-2\ln x > 0 \Leftrightarrow -2\ln x >-1 \Leftrightarrow \ln x <\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow e^{\ln x}>e^{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow 0 < x<\sqrt e\)

    \(\mathcal{S} =]0;\sqrt e[\)

  5. En déduire le tableau des variations de \(f\)

  6. on a \(x^3>0\) et donc la dérivée a le signe de \(1-2\ln x>0\)
    • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 1-2\ln x=0 \Leftrightarrow \ln x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\sqrt e\)
    • \(f'(x) > 0 \Leftrightarrow 1-2\ln x=0 \Leftrightarrow 0 < x<\sqrt e\)

    On a bien sûr calculé \(f\left (\sqrt e\right )=\frac{1}{2e}\)Calculer, \emph{en simplifiant au maximum, les images de : \[\frac{1}{2} \qquad ;\qquad 4 \qquad ;\qquad 2e \]\(f\left (\frac{1}{2}\right )=\dfrac{\ln \left (\frac{1}{2}\right )}{\left (\frac{1}{2}\right )^2}=\dfrac{-\ln 2}{\dfrac{1}{4}}=-4\ln 2\).
    • \(f\left (\frac{1}{2}\right )=-4\ln 2\)
    • De même \(f(4)=\dfrac{\ln 4}{4^2}=\dfrac{2 \ln 2}{16}\) \(f(4)=\dfrac{ \ln 2}{8}\)
    • \(f(2e)=\dfrac{\ln (2e)}{(2e)^2}=\dfrac{\ln 2+\ln e}{4e^2}=\dfrac{\ln 2+1}{4e^2}\)
      \(f(2e)=\dfrac{\ln 2+1}{4e^2}\)

Exercice

  1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : \(I=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \cos(2x) \, dx \)
  2. On calcule successivement :
    • une primitive de \(f\) définie par \(F(x)=\dfrac{1}{2}+\sin(2x)\)
    • \(F\left (-\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin\left (-\dfrac{2\pi}{3} \right )=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt 3}{2}=-\dfrac{\sqrt 3}{4} \)
    • \(F\left (\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin\left (\dfrac{2\pi}{3} \right )=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt 3}{2}=\dfrac{\sqrt 3}{4} \)
    • \(F\left (\frac{\pi}{3}\right)-F\left (-\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt 3}{4}+\dfrac{\sqrt 3}{4}\)


    \(I=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \cos(2x) \, dx =\dfrac{\sqrt 3}{2}\)

  3. Soit \(f\) définie sur \(]-2;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{x+2}\)
    1. Démontrer que \(f(x)=\dfrac{7}{x+2}+x-4\)

    2. Il suffit de réduire au même dénominateur !
      \(\dfrac{7}{x+2}+x-4 =\dfrac{7}{x+2}+\dfrac{(x-4)(x+2)}{x+2}=\dfrac{7+(x-4)(x+2)}{x+2}=\dfrac{7+x^2-4x+2x-8}{x+2}\)
      \(\dfrac{7}{x+2}+x-4 =\dfrac{x^2-2x-1}{x+2}=f(x)\)
    3. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, dx\)
    4. On calcule successivement :
      • une primitive de \(f(x)=\dfrac{7}{x+2}+x-4 \) définie par \(F(x)=7\ln |x+2|+\dfrac{x^2}{2}-4x\)

        \(\dfrac{7}{x+2}\) est de la forme \(7\dfrac{u'}{u}\) qui a pour primitive \(7\ln |u|\).

      • \(F\left (2\right)=7\ln |2+2|+2-8=7\ln 4-4=7\times 2\ln 2-6=14\ln 2-6\)
      • \(F\left (0\right)=7\ln |0+2|+0^2-0=7\ln 2\)
      • \(F(2)-F(0)=14\ln 2-4-7\ln 2=7\ln 2-6\)


      \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, dx=7\ln 2-6\)

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