SUJET ORAL TSTI2D 17

Correction Oral 17 STI2D

Exercice : Exponentielle et calcul intégral Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;2]\) par \(f(x)=e^{-x}\)

1. Etudier les variations de \(f\) et en déduire le maximum et le minimum de \(f\)

On calcule sa dérivée qui vaut \(f'(x)=-e^{-x}\).
On étudie le signe de la dérivée, comme la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), on déduit que \(f'(x)< 0\) ce qui prouve que \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

 Au vu de cette étude pour tout \(x \in [0;2]\) on a \(f(0)\geq f(x)\geq f(2)\)
Soit \[ e^{-2}\leq f(x)\leq 1\]Le maximum de \(f\) sur \([0;2]\) est 1.
Le minimum de \(f\) sur \([0;2]\) est \( e^{-2}\).
1. Calculer la valeur moyenne de \(f\) c'est-à-dire le nombre \(m\) tel que: \[m=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_{0}^{2} e^{-x}dx\]
On calcule successivement :
• une primitive de \(f\) définie par \(F(x)=-e^{-x}\)
  
  Si \(a\neq 0\) alors \(x \mapsto e^{ax}\) a pour primitives \(x \mapsto \frac{1}{a}e^{ax}+ C\)
  
  
• \(F(2)=-e^{-2}=-\dfrac{1}{e^2}\)
• \(F(0)=-e^0=-1\)
• \(F(2)-F(0)=-\dfrac{1}{e^2}+1\)


\(m=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_{0}^{2} e^{-x}dx=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2e^2}\)

Exercice : Equation différentielle

1. Résoudre l'équation différentielle \[(E) : \qquad y''+y=0\]
L'équation différentielle \(y''+y=0\) est du type \(y''+\omega ^2y=0\); où \(\omega =1\)



Les solutions de \(E\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=A\cos x +B \sin x\) où \(A\) et \(B\) désignent deux constantes réelles quelconques.



2. On désigne par \(f\) la solution particulière de \((E)\) dont la courbe représentative dans passe par le point de coordonnées \((0;1)\) et qui admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation \(y=x\)
   1. D'après l'énoncé, combien valent \(f(0)\) et \(f'(0)\)?
      • \(A(0;1) \in C_f \Leftrightarrow f(0)=1\).
      • \(C_f\) admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation \(y=x\) de cofficient directeur 1; donc \(f'(0)=1\)
        
        Deux droites sont parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur.
        
        
   2. En déduire que \(f(x)=\cos(x)+\sin(x)\)
      \(f\) est une solution de \(E\) donc :
      \(f(x)=A\cos x +B \sin x\)
      On déduit \(f'(x)=-A\sin x+B\cos x\).
      \[\left \{ \begin{array}{rcl} f(0)& = & 1 \\
      f'(0) & = &1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} A \cos 0 + B\sin 0& = & 1 \\ -A\sin 0+B\cos 0& = &1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} A & = & 1 \\ B& = &1 \end{array} \right. \]On déduit donc \(f(x)=\cos(x)+\sin(x)\)