SUJET ORAL TSTI2D 16

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Nombres complexes

Oral 16 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!


Exercice
Nombres complexes On considère les deux nombres complexes suivants : \[a=1+i \qquad \qquad b=\sqrt{3}-i\]

  1. Déterminer le module et un argument de \(a\) et \(b\)
  2. Ecrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle
  3. Donner la forme exponentielle de \(\dfrac{1}{a}\)



Exercice La courbe \(\Gamma\) (=gamma) est la courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([-\frac{3}{2};1]\) .

Les questions 1) et 2) sont indépendantes. On sait que :

  • Les points A, B, et C ont pour coordonnées respectives (-2;0), (0;1) et (1;\(\frac{5}{2}\)).
  • La courbe \(\Gamma\) passe par les points B et C
  • La droite (AB) est \emph{la tangente en B} à la courbe \(\Gamma\)
  1. A l'aide de tous ces renseignements, calculer
    • \(f(0)\)
    • \(f(1)\)
    • \(f'(0)\)
  2. On admet que \(f(x)=x^3+\frac{1}{2}x+1\) sur [\(-\frac{3}{2};1\)].
    Calculer l'aire (en ua) du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droite d'équations \(x=0\) et \(x=1\)
 
 

Correction Oral 16 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!


Exercice
Nombres complexes On considère les deux nombres complexes suivants : \[a=1+i \qquad \qquad b=\sqrt{3}-i\]

  1. Déterminer le module et un argument de \(a\) et \(b\)
  2. On calcule son module \( |a|=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)
    On détermine un argument en calculant :
    \(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{\sqrt 2} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin\theta& = & \dfrac{y}{r}=\dfrac{1}{\sqrt 2} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.\)
    Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=\frac{\pi}{4}\)

    Le nombre complexe \(a = 1+i\) a pour module et argument respectivement :\(\sqrt{2}\) et \(\frac{\pi}{4}\)

    On calcule son module \( |b|=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=\sqrt{4}=2\)
    On détermine un argument en calculant :
    \(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{x}{r}=\dfrac{\sqrt 3 }{2}\\ \sin\theta& = & \dfrac{y}{r}=-\dfrac{1}{ 2} \end{array} \right.\)
    Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=-\frac{\pi}{6}\)

    Le nombre complexe \(b=\sqrt{3}-i\) a pour module et argument respectivement :\(2\) et \(-\frac{\pi}{6}\)

  3. Ecrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle

  4. Le nombre complexe \(a = 1+i\) a pour module et argument respectivement :\(\sqrt{2}\) et \(\frac{\pi}{4}\) donc

    \(a=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)

    Le nombre complexe \(b=\sqrt{3}-i\) a pour module et argument respectivement :\(2\) et \(-\frac{\pi}{6}\) donc

    \(b=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\)

  5. Donner la forme exponentielle de \(\dfrac{1}{a}\)

  6. De \(a=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) on déduit \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\frac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt 2}{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
    On rappelle que si \(z=re^{i\theta}\) alors \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}\).



Exercice La courbe \(\Gamma\) (=gamma) est la courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([-\frac{3}{2};1]\) .

Les questions 1) et 2) sont indépendantes. On sait que :

  • Les points A, B, et C ont pour coordonnées respectives (-2;0), (0;1) et (1;\(\frac{5}{2}\)).
  • La courbe \(\Gamma\) passe par les points B et C
  • La droite (AB) est \emph{la tangente en B} à la courbe \(\Gamma\)
  1. A l'aide de tous ces renseignements, calculons
    • \(f(0)=1\)
    • \(f(1)=\frac{5}{2}\)
    • \(f'(0)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\Gamma\) au point d'abscisse \(0\) , c'est donc le coefficient directeur de la droite \((AB)\) :\(f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-0}{0+2}=\dfrac{1}{2}\)

      \(f'(0)=\dfrac{1}{2}\)

  2. On admet que \(f(x)=x^3+\frac{1}{2}x+1\) sur [\(-\frac{3}{2};1\)].
    Calculer l'aire (en ua) du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droite d'équations \(x=0\) et \(x=1\)
  3. Comme la fonction \(f\) est positive sur \([0;1]\), sa courbe est située au dessus de \((Ox)\) sur \([0;+\infty[\) donc sur \([0;1]\), l'aire cherchée vaut donc :
    \[A =\displaystyle\int_0^1f(x)\;dx u.a.=\left [F(x)\right ]_0^1=F(1)-F(0)\]On calcule successivement :
    • une primitive de \(f\) définie par \(F(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{x^2}{2}+x=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{4}+x\)
    • \(F(1)=\frac{1}{4} +\frac{1}{4}+1=\frac{3}{2}\)
    • \(F(0)=0\)
    • \(F(1)-F(0)=\frac{3}{2}\)


    \(A=\frac{3}{2}\;u.a. \)

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