SUJET ORAL TSTI2D 15

oui
oui
STI2D
Année 2014
Nombres complexes,Fonction exp

Oral 15 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!


Exercice : Nombres complexes
Soit \(\mathrm{i}\) le nombre complexe de module \(1\) et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\).
Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=2z^3-10z^2+21z-18\).

  1. Calculer \(P(2)\), puis déterminer les réels \(a, b\) et \(c\) tels que pour tout nombre complexe \(z\) on ait \[P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)\]
  2. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, l'équation \(2z^2-6z+9=0\), puis en déduire les solutions de l'équation \(P(z)=0\).
  3. Le plan est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) (unité graphique \(2\) cm). On considère les points \(A\) et \(B\), d'affixes respectives \(z_A=\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} \mathrm{i}\) et \(z_B = \overline{z_A}\), ainsi que les points \(C\) et \(D\) d'affixes respectives \(z_C\) et \(z_D\) telles que \(z_C=-z_A\) et \(z_D=\mathrm{i}z_A\).
    1. Écrire les nombres complexes \(z_C\) et \(z_D\) sous forme algébrique.
    2. Sur la copie, placer les points \(A, B, C,\) et \(D\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\).
    3. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier la réponse.



Exercice : Une étude de fonction exponentielle
On considère la fonction \(f\) définie pour tout nombre réel \(x\) par \[f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.\]On appelle (\(\mathcal{C}\)) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\), unités graphiques : 3 cm sur l'axe des-abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

  1. Étude en \(-\infty\).
    1. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(- \infty\).
    2. Montrer que la droite \(\Delta\) d'équation \(y = x + 3\) est asymptote à la courbe (\(\mathcal{C}\)) en \(- \infty\).
    3. Étudier la position de la courbe (\(\mathcal{C}\)) par rapport à la droite \(\Delta\).
  2. Étude en \(+ \infty\).
    1. Justifier que pour tout nombre réel \(x\) non nul, \[f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}\right]x.\]
    2. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).
  3. Étude des variations de \(f\)
    1. Calculer \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    2. Étudier le signe de \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    3. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). Donner la valeur exacte de son maximum.
  4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (\(\mathcal{C}\)) au point d'abscisse 0.
 
 

Correction Oral 15 STI2D

Oral 15 STI2D


Exercice : Nombres complexes
Soit \(\mathrm{i}\) le nombre complexe de module \(1\) et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\).
Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=2z^3-10z^2+21z-18\).

  1. Calculer \(P(2)\), puis déterminer les réels \(a, b\) et \(c\) tels que pour tout nombre complexe \(z\) on ait \[P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)\]
  2. \(P(2)=2\times 8-10 \times 4+42-18=58-58\)
    Ayant \(P(2)=0\) on déduit que \(P(z)\) se factorise par \((z-2)\);
    \[P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)\]\[P(z)=az^3+bz^2+cz-2az^2-2bz-2c\]\[P(z)=az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c\]\[ \text{ Or }P(z)=2z^3-10z^2+21z-18\]En identifiant les termes de même degré, il vient :
    \[\begin{cases} a&=2\\ b-2a&=-10\\ c-2b&=21\\ -2c&=-18 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a&=1\\ b&=2a-10\\ c &=2b+21\\ c&=9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a&=2\\ b&=-6\\ c&=9 \end{cases} \]

    \(P(z)=(z-2)(z^2-6z+9)\)

  3. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, l'équation \(2z^2-6z+9=0\), puis en déduire les solutions de l'équation \(P(z)=0\).
  4. On calcule \(\Delta =36-4\times 2\times 9=108=-36\)
    Comme \(\Delta >0\) l'équation a deux racines complexes conjuguées :
    \(z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{6+6i}{4}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\);
    \(z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{6-6i}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\)


    \(\mathcal{S} =\{\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i;\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\}\)

    puis en déduire les solutions de l'équation \(P(z)=0\) :
    \(P(z)=0 \Leftrightarrow (z-2)(z^2-6z+9)=0 \Leftrightarrow z=2 \text{ ou } (z^2-6z+9)=0\)


    \(\mathcal{S} =\{2;\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i;\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\}\)

  5. Le plan est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) (unité graphique \(2\) cm). On considère les points \(A\) et \(B\), d'affixes respectives \(z_A=\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} \mathrm{i}\) et \(z_B = \overline{z_A}\), ainsi que les points \(C\) et \(D\) d'affixes respectives \(z_C\) et \(z_D\) telles que \(z_C=-z_A\) et \(z_D=\mathrm{i}z_A\).
    1. Écrire les nombres complexes \(z_C\) et \(z_D\) sous forme algébrique.
    2. \(z_C=-z_A=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\); \(z_D=iz_A=i\left (\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\right )=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\)


      \(z_C=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i\);\(z_D=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\)

    3. Sur la copie, placer les points \(A, B, C,\) et \(D\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\).

    4. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier la réponse.
    5. \(ABCD\) est un carré; en effet :
      • \(z_{\vec{AB}}=z_B-z_A=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i=-3i\)
        \(z_{\vec{DC}}=z_C-z_D=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i=-3i\)
        On a donc \(z_{\vec{AB}}=z_{\vec{DC}}\), ce qui prouve \(\vec{AB}=\vec{DC}\), et donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
      • \(z_{\vec{AB}}=-3i\) donc \(\vec{AB} \begin{pmatrix} 0\\ -3 \end{pmatrix}\)
        \(z_{\vec{AD}}=z_D-z_A=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i=-3\) donc \(\vec{AD} \begin{pmatrix} -3\\ 0 \end{pmatrix}\)
        \(\vec{AB}\centerdot \vec{AD}=x x'+y y'=0\times (-3)+(-3)\times 0\)
        \(\vec{AB}\centerdot \vec{AD}=0\) donc les vecteurs \(\vec{AB}\) et \( \vec{AD}\) sont orthogonaux, ce qui prouve que \(ABCD\) est un parallélogramme qui a un angle droit, c'est donc un rectangle.
      • \(AB=\left |z_B-z_A\right |=|-3i| =3\) et \(AD=\left |z_D-z_A\right |=|-3| =3\)
        Ayant \(AB=AD\); le rectangle \(ABCD\) a deux côtés consécutifs de même longueur, c'est donc un carré.



Exercice : Une étude de fonction exponentielle
On considère la fonction \(f\) définie pour tout nombre réel \(x\) par \[f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.\]On appelle (\(\mathcal{C}\)) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\), unités graphiques : 3 cm sur l'axe des-abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

  1. Étude en \(-\infty\).
    1. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(- \infty\).
    2. \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to -\infty}- \text{e}^{2x}=0\\ \lim\limits_{x\to -\infty}~ x+3 =-\infty \end{array}\right\}\) par somme ,
      \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}~f(x)= -\infty\)

    3. Montrer que la droite \(\Delta\) d'équation \(y = x + 3\) est asymptote à la courbe (\(\mathcal{C}\)) en \(- \infty\).
    4. On forme \(f(x)-(x+3)=- \text{e}^{2x}\)
      or \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}- \text{e}^{2x}=0\),
      On a donc \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [f(x)-(x+3)\right ]=0\).

      ce qui prouve que la droite \(D\) d'équation \(y=x+3\) est asymptote à la courbe \(C\) au voisinage de \(-\infty\).

    5. Étudier la position de la courbe (\(\mathcal{C}\)) par rapport à la droite \(\Delta\).
    6. On étudie le signe de \(y_{C}-y_{\Delta}=f(x)-(x+3)=- \text{e}^{2x}\)
      La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\); donc pour tout \(x \in \mathbb{R}\) on a \(y_{C}-y_{\Delta} < 0\).

      La courbe \(C\) est située en dessous de \(\Delta \) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Étude en \(+ \infty\).
    1. Justifier que pour tout nombre réel \(x\) non nul, \[f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}\right]x.\]
    2. Il suffit de développer !
      \(f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}\right]x=\dfrac{\text{e}^x}{x}\times\left(-\text{e}^{x}\right) +x+3= - \text{e}^{2x} + x + 3 \)
    3. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).


    4. D'après un théorème du cours \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\)

      \(\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~ -\text{e}^x =-\infty \end{array}\right\}\) par produit , \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~\dfrac{\text{e}^x}{x}\times\left(-\text{e}^{x}\right)= -\infty\) .
      \(\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~\dfrac{\text{e}^x}{x}\times\left(-\text{e}^{x}\right)= -\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~ 1 + \dfrac{3}{x} =1 \end{array}\right\}\) par somme , \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}= -\infty\) .
      \(\left.\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to -\infty}- \text{e}^{2x}=0 \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}~ x+3 =-\infty \end{array}\right\}\) par produit , \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)= -\infty\) .
  3. Étude des variations de \(f\)
    1. Calculer \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    2. On a\(f=u+v\) donc \(f'=u'+v'\)
      On utilise l'écriture : \(f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3\) Ainsi \(f'(x)=-2\text{e}^{2x}+1\)

      On rappelle \((e^u)'=u'e^u\).

    3. Étudier le signe de \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    4. On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur \(]0;+\infty[\); on a \(x>0\) et donc la dérivée a le signe de \(x-1\)
      • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow -2\text{e}^{2x}+1=0 \Leftrightarrow \text{e}^{2x}= \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \ln\left (\text{e}^{2x}\right )=\ln\left (\dfrac{1}{2}\right )\Leftrightarrow 2x=-\ln 2 \)
        \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{\ln 2}{2}\)
      • \(-2\text{e}^{2x}+1>0 \Leftrightarrow \text{e}^{2x}< \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \ln\left (\text{e}^{2x}\right )<\ln\left (\dfrac{1}{2}\right )\Leftrightarrow 2x < -\ln 2 \)
        \(f'(x)>0 \Leftrightarrow x<-\dfrac{\ln 2}{2}\)
    5. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). Donner la valeur exacte de son maximum.

    6. On a bien sûr calculé \(f\left(-\frac{\ln 2}{2}\right )=-e^{2\times \left (-\frac{\ln 2}{2}\right )}-\frac{\ln 2}{2}+3=-e^{-\ln 2}-\frac{\ln 2}{2}+3=-\dfrac{1}{2}+3-\frac{\ln 2}{2}=\frac{5-\ln 2}{2}\)

      La valeur exacte du maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(\frac{5-\ln 2}{2}\).

  4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (\(\mathcal{C}\)) au point d'abscisse 0.
  5. La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= 0\) a pour équation : \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]Ici \(a= 0\), on calcule successivement :
    • \(f(0 )=-1+0+3=2\)
      On a utilisé 
      \(\ln\left (\dfrac{1}{a}\right )=-\ln a\)
    • \(f'(0)=-2+1=-1\)
    Ainsi \(T:y=-\left (x-0\right )+2\)


    \(T:y=2-x\)

Une figure :

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