SUJET ORAL TSTI2D 14

oui
oui
STI2D
Année 2014
Nombres complexes,Fonction ln

Oral 14 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!


Exercice Soit \(g\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=2x-4-\ln(x)\)

  1. Déterminer \(g'(x)\) et étudier son signe
  2. Calculer la limite en \(0\)
  3. Démontrer que \(g(x)=x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\). En déduire \(\lim \limits_{x\rightarrow +\infty} g(x)\)



Exercice On considère les nombres complexes suivants : \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]

  1. Placer ces nombres complexes un repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique \(1:1cm\)
  2. Donner le module et un argument de \(z_1 \times z_2\)
  3. Donner la forme algébrique de \(z_1 \times z_2\)
 
 

Correction Oral 14 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 


Exercice Soit \(g\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=2x-4-\ln(x)\)

  1. Déterminer \(g'(x)\) et étudier son signe
  2. On obtient \(g'(x)=2-\dfrac{1}{x}\)
  3. Calculer la limite en \(0\)
  4. \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~2x-4=-4\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~-\ln(x)=+\infty \end{array}\right\}\) par somme on obtient: \(\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=+\infty\)
    La droite d'équation \(x=0\) est donc asymptote verticale à \(C_g\), la représentation graphique de \(g\).
  5. Démontrer que \(g(x)=x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\). En déduire \(\lim \limits_{x\rightarrow +\infty} g(x)\)
  6. Il suffit de développer \(x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\) pour obtenir \(g(x)\).
    On utilise l'écriture : \(g(x)=x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\)
    \(\left.\begin{array}{r} \text{ D'après une limite usuelle }\displaystyle\lim_{x\to +\infty} -\dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \\ \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~ -\dfrac{4}{x} =0 \\  \displaystyle\lim_{x\to +\infty}~ 4 =4 \end{array}\right\}\) par somme on obtient: \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )=4\)

    \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )=4\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~x= +\infty \end{array}\right\}\) par produit on obtient: \(\lim\limits_{x \to+\infty}g(x)=+\infty\)



Exercice On considère les nombres complexes suivants : \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]

  1. Placer ces nombres complexes un repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique \(1:1cm\)
  2. Une figure pour commencer !

  3. Donner le module et un argument de \(z_1 \times z_2\)
  4. \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]On a donc \( z_1= e^ {i\frac{\pi}{3}} \) et \( z_2=3e^ {i\frac{3\pi}{4}} \)
    On a donc \(z_1 \times z_2=e^ {i\frac{\pi}{3}} \times 3e^ {i\frac{3\pi}{4}}=3 e^ {i\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}} = 3e^ {i\frac{13\pi}{12}}\)
  5. Donner la forme algébrique de \(z_1 \times z_2\)
  6. \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]On a donc \( z_1= e^ {i\frac{\pi}{3}} =\cos\left (\frac{\pi}{3}\right )+i\sin\left (\frac{\pi}{3}\right )=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \( z_2=3e^ {i\frac{3\pi}{4}} =3\left (\cos\left (\frac{3\pi}{4}\right )+i\sin\left (\frac{3\pi}{4}\right )\right )=3\left (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )\)
    On a donc \(z_1 \times z_2=\left (\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) \times \left (-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right )\) \[z_1 \times z_2= \left ( -\dfrac{3\sqrt{2}}{4} -\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\right )+i\left ( \dfrac{3\sqrt{2}}{4} -\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\right )\]

 

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