Sujet Oral TSTI2D 12

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonctions généralités,Nombres complexes

Oral 12 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice \(A, B, C\) sont les points d'affixes respectives : \(z_A=-1+i , z_B=2+i , z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i\) .
  1. Calculer les affixes de \(\vec{AB} ,\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\)
  2. En déduire les longueurs \(AB, AC\) et \(BC\).
  3. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?


Exercice Le plan est muni du repère orthonormal \((O, \vec \imath, \vec\jmath\, )\) (unité de longueur 2~cm).
On considère \(C_f\), la représentation graphique de la fonction numérique \(f\) définie définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des constantes réelles.
La représentation graphique de la courbe \(C_f\) est donnée ci-dessous :

On précise qu'aux points \(A\) et \(B\), la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
  1. A l'aide du graphique, déterminer les valeurs de \(f (0)\), \(f (1)\), \(f' (0)\) et \(f' (2)\).
  2. Déterminer les valeurs des constantes \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
  3. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ g (x) = x^3 - 3x^2 + 1. \]Déterminer les limites de la fonction \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
  4. Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (Autrement dit calculer la dérivée \(g' (x)\), étudier le signe de cette dérivée, puis établir le tableau de variations de \(g (x)\).)
  5. On admet que la représentation graphique donnée ci-avant est celle de \(C_g\), la courbe représentative de la fonction \(g\).Calculer \(g (1)\). En déduire le signe de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([1, 2]\).
  6. Déterminer une équation de la tangente T à \(C_g\) au point d'abscisse \(1\).
  7. Etudier la position relative de la tangente T par rapport à \(C_g\) .

Correction Oral 12 STI2D

Exercice

\(A, B, C\) sont les points d'affixes respectives : \(z_A=-1+i , z_B=2+i , z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i\) .
Une figure pour commencer !

  1. Calculer les affixes de \(\vec{AB} ,\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\) Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour affixe \(z_{\vec{AB}}=z_B-z_A\).
    • Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour affixe \(z_B-z_A=2+i-(-1+i)=3\).

      \(z_{\vec{AB}}=3\)
    • Le vecteur \(\vec{AC}\) a pour affixe \(z_C-z_A=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i-(-1+i)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\).

      \(z_{\vec{AC}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)
    • Le vecteur \(\vec{BC}\) a pour affixe \(z_C-z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i-(2+i)=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}i\).

      \(z_{\vec{BC}}=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}i\)
  2. En déduire les longueurs \(AB, AC\) et \(BC\). \ENC{Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour norme : \(\left |z_{\vec{AB}}\right |=\left |z_B-z_A\right |\).}
    • Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour norme :
      \(\left |z_B-z_A\right |=|3|=3\).

      \(AB=3\)
    • Le vecteur \(\vec{AC}\) a pour norme:
      \(\left |z_C-z_A\right |=\left |\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\right |=\sqrt{\left (\dfrac{1}{2}\right )^2+\left (-\dfrac{3}{2}\right )^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{10}{4}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\).

      \(AB=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
    • Le vecteur \(\vec{BC}\) a pour norme :
      \(\left |z_C-z_B\right |=\left |-\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}i\right |=\sqrt{\left (-\dfrac{5}{2}\right )^2+\left (-\dfrac{3}{2}\right )^2}=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{34}{4}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\).

      \(BC=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\)
  3. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Si le triangle \(ABC\) est rectangle , son hypoténuse est le plus grand côté \(AB\)
    \(AC^2+CB^2=\dfrac{10}{4} +\dfrac{34}{4} =\dfrac{44}{4}=11\)
    Or \(AB^2=9\neq 11\),

    Le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle.

Exercice

  1. Le plan est muni du repère orthonormal \((O, \vec \imath, \vec\jmath\, )\) (unité de longueur 2~cm). On considère \(C_f\), la représentation graphique de la fonction numérique \(f\) définie définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des constantes réelles. La représentation graphique de la courbe \(C_f\) est donnée ci-dessus :


    On précise qu'aux points \(A\) et \(B\), la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
  2. A l'aide du graphique, on lit les valeurs de \(f (0)=1\), \(f (1)=-1\), \(f' (0)=0\) et \(f' (2)=0\).
    En effet les tangentes à la courbe \(C_f\) aux points d'abscisses 0 et -2 sont horizontales.
  3. Déterminer les valeurs des constantes \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
    • \(f(0)=1 \Leftrightarrow a\times 0^3 +b\times 0^2+c \times 0 +d=1 \Leftrightarrow d=1\)
    • \(f(1)=-1 \Leftrightarrow a\times 1^3 +b\times 1^2+c \times 1 +d=1 \Leftrightarrow a+b+c+d=1\)
    • Pour exprimer la condition \(f'(0)=0\), on calcule la dérivée: \(f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) donc \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) \(f'(0)=0 \Leftrightarrow c=0\)
    • \(f'(2)=0 \Leftrightarrow 12a +4b +c=0\)
    On résout alors le système : \[\begin{cases} d&=1\\ a+b+c+d&=1\\ c&=0\\ 12a +4b +c&=0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}d&=1\\ a+b+c&=0\\ c&=0\\ 3a +b &=0\\ \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a&=1\\ b&=-3\\ c&=0\\ d &=1\\ \end{cases}\]

     la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \( f (x) = x^3 - 3x^2 + 1. \)
  4. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ g (x) = x^3 - 3x^2 + 1. \]Déterminer les limites de la fonction \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

    Vers l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.



    Ainsi \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty\).

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty\)

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty\).

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty\)
  5. Etudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (Autrement dit calculer la dérivée \(g' (x)\), étudier le signe de cette dérivée, puis établir le tableau de variations de \(g (x)\).)
    On a \(g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)
    \(g'(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=2\)
    La dérivée est un trinôme du second degré qui a deux racines, elle a donc le signe de \(a=3\) à l'extérieur des racines et celui de \(-a\) à l'intérieur.



    On en déduit le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) :
  6. On admet que la représentation graphique donnée ci-avant est celle de \(C_g\), la courbe représentative de la fonction \(g\). Calculer \(g (1)=1-3+1=-1\).
    En déduire le signe de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([1, 2]\).
    La fonction \(g\) est strictement décroissante sur \([1;2]\), donc pour tout \(x \in [1;2]\): \[1\leq x\leq 2\]\[g(1)\geq g(x)\geq g(2)\]\[-1\geq g(x)\geq -3\]

    Ce qui prouve que la fonction \(g\) est négative sur \([1;2]\).

  7. Déterminer une équation de la tangente T à \(C_g\) au point d'abscisse \(1\).
    La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= 1\) a pour équation : \[y=g'(a)(x-a)+g(a)\]Ici \(a= 1\), on calcule successivement :
    • \(g(1 )=-1\)
    • \(g'\left (1\right )=3-6=-3\)
    Ainsi \(T:y=-3\left (x-1\right )-1\)


    \(T:y=-3x+2\)

  8. Etudier la position relative de la tangente T par rapport à \(C_g\) .
    On étudie le signe de \(y_{C_g}-y_T=g(x)-(-3x+2)=x^3-3x^2+1+3x-2=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\)
    • \(y_{C_g}-y_T=0 \Leftrightarrow (x-1)^3=0 \Leftrightarrow x=1\)
      \(C_g\) et \(T\) ont un seul point de contact; le point \(A(1;-1)\).
    • \(y_{C_g}-y_T>0 \Leftrightarrow (x-1)^3 > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
      \(C_g\) est située au dessus de \(T\) sur \(]1;+\infty[\).
    • \(y_{C_g}-y_T < 0 \Leftrightarrow (x-1)^3 < 0 \Leftrightarrow x < 1\)
      \(C_g\) est située en-dessous de \(T\) sur \(]-\infty;1[\).

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