Sujet Oral TSTI2D 08

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonction ln

Oral 8 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0; +\infty[\) par : \(f(x)=x^2-2\ln x\) et \(C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités 2cm sur \((Ox)\) et 1cm sur \((Oy)\)).

  1. Étudier la limite de \(f\) en 0. Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?
  2. Montrer que \(f(x) = x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\). Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
  3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = 2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( 2\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
  5. L'équation \(f(x)=0\) a-t-elle des solutions ?

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^3}{3} +2 x -2 x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).
 

Correction Oral 8 STI2D

Exercice

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0; +\infty[\) par : \(f(x)=x^2-2\ln x\) et \(C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités 2cm sur \((Ox)\) et 1cm sur \((Oy)\)).

  1. Étudier la limite de \(f\) en 0. Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?

  2. On a la \(\text{ limite usuelle: }\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x =-\infty \);
    \(\left.\begin{array}{r} \text{ Limite usuelle: }\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x =-\infty \lim\limits_{x\to 0^+} ~-2\ln x=+\infty\\ \lim\limits_{x\to 0^+}~ x =0 \end{array}\right\}\) par somme\(\lim\limits_{x\to 0^+ }~ f(x)=+\infty\)

    \(\lim\limits_{x\to 0^+ }~ f(x)=+\infty\), donc l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe \(C\)
  3. Montrer que \(f(x) = x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\).
    Il suffit de factoriser par \(x\) dans \(f(x)\) ou développer l' écriture \(x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\)
    Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
    sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\), on déduit \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}x-2\dfrac{\ln x}{x}= +\infty\).
    \(\left.\begin{array}{r} \displaystyle\lim_{x\to +\infty} x-2\dfrac{\ln x}{x}= +\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty}~ x =+\infty \end{array}\right\}\) par produit,\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=+\infty\)

  4. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = 2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
    On a\(f=u+v\) donc \(f'=u'+v'\)
    Ainsi \(f'(x)=2x-2\times \dfrac{1}{x}=2\dfrac{x^2-1}{x}=2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\)
    On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur \(]0;+\infty[\); on a \(x > 0\), de la même façon de \(x>0\) on déduit \(x+ 1> 0\) et donc la dérivée a le signe de \(x-1\)
    • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\)
    • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow x-1>0 \Leftrightarrow x>1\)
    Tab Var On a bien sûr calculé \(f(1)=1-2\ln 1=1\)
  5. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( 2\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
    La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= 2\) a pour équation : \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]Ici \(a= 2\), on calcule successivement :
    • \(f\left(2\right)=2^2-2\ln 2=4-2\ln2\)
    • \(f'\left (2\right )=4-2\times \dfrac{1}{2}=3\)
    Ainsi \(T:y=3\left (x-2\right )+4-2\ln2\)


    \(T:y=3x-2-2\ln 2\)

  6. L'équation \(f(x)=0\) a-t-elle des solutions ?
    Au vu du tableau de variations , on a montré que la fonction \(f\) présente un minimum en 1 qui vaut 1 sur \(]0,+\infty[\).
    Donc pour tout \(x\in ]0,+\infty[: f(x)\geq 1>0\).

    L'équation \(f(x)=0\) n'a pas de solution.

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^3}{3} +2 x -2 x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .

  2. Il suffit de dériver !
    \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 +2 x -2 x \ln x\)
    \(F=u+v\) où \(u(x)=\frac{x^3}{3} +2 x\) et \(v(x)=-2 x \ln x\)
    donc \(u'(x)=\frac{1}{3}\times 3x^2+2=x^2+2\),
    par ailleurs \(v=a.b\) où \(a(x)=-2x\) et \(b(x)=\ln x\)
    on a alors \(a'(x)=-2\) et \(b'(x)=\dfrac{1}{x}\)
    \(v'=a'b+b'a\), soit \(v'(x)=-2\times\ln x + \dfrac{1}{x}\times (-2x)=-2\ln x -2\)
    \(F'=u'+v'\), donc \(F'(x)=x^2+2-2\ln x -2=x^2-2\ln x\)
    On a bien montré que \(F'(x)=f(x)\), donc \(F\) est une primitive de \(f\)
  3. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).

  4. Un dessin ?

    Comme la fonction \(f\) est positive sur \([1;2]\), sa courbe est située au dessus de \((Ox)\) sur \(]0;+\infty[\) donc sur \([1;2]\), l'aire cherchée vaut donc :
    \[A =\displaystyle\int_1^2f(x)\;dx u.a.=\left [F(x)\right ]_1^2=F(2)-F(1)\]On utilise \(F(x)=\frac{1}{3}x^3 +2 x -2 x \ln x\) on calcule successivement :
    • \(F(1)=\frac{1^3}{3} +2-2 \ln 1=\frac{7}{3}\)
    • \(F(2)=\frac{2^3}{3} +6-4 \ln 2=\frac{20}{3} -4 \ln 2\)
    • \(F(2)-F(1)=\frac{20}{3} -4 \ln 2-\frac{7}{3}=\frac{13}{3}- 4 \ln 2\)


    \(A=\frac{13}{3}- 4 \ln 2 \;u.a.\approx 1,56\;u.a. \)
 

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