Sujet Oral TSTI2D 08

Correction Oral 8 STI2D

Exercice

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0; +\infty[\) par : \(f(x)=x^2-2\ln x\) et \(C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités 2cm sur \((Ox)\) et 1cm sur \((Oy)\)).

1. Étudier la limite de \(f\) en 0. Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?

On a la \(\text{ limite usuelle: }\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x =-\infty \);
\(\left.\begin{array}{r} \text{ Limite usuelle: }\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x =-\infty \lim\limits_{x\to 0^+} ~-2\ln x=+\infty\\ \lim\limits_{x\to 0^+}~ x =0 \end{array}\right\}\) par somme\(\lim\limits_{x\to 0^+ }~ f(x)=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\to 0^+ }~ f(x)=+\infty\), donc l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe \(C\)
2. Montrer que \(f(x) = x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\).
   Il suffit de factoriser par \(x\) dans \(f(x)\) ou développer l' écriture \(x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\)
   Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
   sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\), on déduit \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}x-2\dfrac{\ln x}{x}= +\infty\).
   \(\left.\begin{array}{r} \displaystyle\lim_{x\to +\infty} x-2\dfrac{\ln x}{x}= +\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty}~ x =+\infty \end{array}\right\}\) par produit,\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=+\infty\)
3. 
   Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = 2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\) et en déduire son signe.
   Dresser le tableau de variation de \(f\).
   Dresser le tableau de variation de \(f\).
   On a\(f=u+v\) donc \(f'=u'+v'\)
   Ainsi \(f'(x)=2x-2\times \dfrac{1}{x}=2\dfrac{x^2-1}{x}=2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\)
   On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur \(]0;+\infty[\); on a \(x > 0\), de la même façon de \(x>0\) on déduit \(x+ 1> 0\) et donc la dérivée a le signe de \(x-1\)
   
   • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\)
   • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow x-1>0 \Leftrightarrow x>1\)
   Tab Var On a bien sûr calculé \(f(1)=1-2\ln 1=1\)
4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( 2\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
   La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= 2\) a pour équation : \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]Ici \(a= 2\), on calcule successivement :
   • \(f\left(2\right)=2^2-2\ln 2=4-2\ln2\)
   • \(f'\left (2\right )=4-2\times \dfrac{1}{2}=3\)
   Ainsi \(T:y=3\left (x-2\right )+4-2\ln2\)
   
   
   \(T:y=3x-2-2\ln 2\)
   
   
5. L'équation \(f(x)=0\) a-t-elle des solutions ?
   Au vu du tableau de variations , on a montré que la fonction \(f\) présente un minimum en 1 qui vaut 1 sur \(]0,+\infty[\).
   Donc pour tout \(x\in ]0,+\infty[: f(x)\geq 1>0\).
   
   L'équation \(f(x)=0\) n'a pas de solution.
   
   

B. Calcul d'aire

1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^3}{3} +2 x -2 x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .

Il suffit de dériver !
\(F(x) = \frac{1}{3}x^3 +2 x -2 x \ln x\)
\(F=u+v\) où \(u(x)=\frac{x^3}{3} +2 x\) et \(v(x)=-2 x \ln x\)
donc \(u'(x)=\frac{1}{3}\times 3x^2+2=x^2+2\),
par ailleurs \(v=a.b\) où \(a(x)=-2x\) et \(b(x)=\ln x\)
on a alors \(a'(x)=-2\) et \(b'(x)=\dfrac{1}{x}\)
\(v'=a'b+b'a\), soit \(v'(x)=-2\times\ln x + \dfrac{1}{x}\times (-2x)=-2\ln x -2\)
\(F'=u'+v'\), donc \(F'(x)=x^2+2-2\ln x -2=x^2-2\ln x\)
On a bien montré que \(F'(x)=f(x)\), donc \(F\) est une primitive de \(f\)
2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).

Un dessin ?

Comme la fonction \(f\) est positive sur \([1;2]\), sa courbe est située au dessus de \((Ox)\) sur \(]0;+\infty[\) donc sur \([1;2]\), l'aire cherchée vaut donc :
\[A =\displaystyle\int_1^2f(x)\;dx u.a.=\left [F(x)\right ]_1^2=F(2)-F(1)\]On utilise \(F(x)=\frac{1}{3}x^3 +2 x -2 x \ln x\) on calcule successivement :
• \(F(1)=\frac{1^3}{3} +2-2 \ln 1=\frac{7}{3}\)
• \(F(2)=\frac{2^3}{3} +6-4 \ln 2=\frac{20}{3} -4 \ln 2\)
• \(F(2)-F(1)=\frac{20}{3} -4 \ln 2-\frac{7}{3}=\frac{13}{3}- 4 \ln 2\)


\(A=\frac{13}{3}- 4 \ln 2 \;u.a.\approx 1,56\;u.a. \)