Sujet Oral TSTI2D 07

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonction ln,Fonction exp

Oral 7 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 



Exercice Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

    Un QCM : Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
  1. Cette courbe admet une asymptote horizontale d'équation \(y=1\).
  2. Cette courbe admet une asymptote verticale d'équation \(x=-\frac{1}{2}\) .
  3. Cette courbe admet une asymptote oblique d'équation \(y=-\frac{x}{2}+1\) .
  4. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)
  5. En réalité, la fonction est \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\frac{x}{2}+1+xe^{-x}\) . Soit \(C\) la courbe représentative de \(f\) et soit \(D\) la droite d'équation : \(y=\frac{x}{2}+1\) . Étudier la position de \(D\) par rapport à \(C\).



Exercice On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=2x+1-x\ln x\) .

  1. Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\) sur \(]0;+\infty[\) .
  2. Calculer les images exactes des réels \(\frac{1}{e} , \sqrt e , e^2\) .
  3. Vérifier que \(f(x)=x(2-\ln x)+1\) . En déduire \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\) .
 

Correction Oral 7 STI2D

Exercice

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).


      Un QCM : Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
    1. Cette courbe admet une asymptote horizontale d'équation \(y=1\).
    2. Faux car sinon on aurait \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=1\), on conjecture plutôt \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)!
    3. Cette courbe admet une asymptote verticale d'équation \(x=-\frac{1}{2}\) .
    4. Faux,la droite d'équation \(x=-\frac{1}{2}\) est une verticale, si cette droite était asymptote à \(C_f\), la limite de \(f\) en \(-\frac{1}{2}\) serait infinie alors que \(f\left (-\frac{1}{2}\right )\approx-1,8\).
    5. Cette courbe admet une asymptote oblique d'équation \(y=-\frac{x}{2}+1\) .
    6. Faux. La droite tracée sur le graphique a une pente positive! Elle a pour pente \(\frac{1}{2}\) et pour ordonnée à l'origine \(1\), la droite \(D\) la droite d'équation : \(y=\frac{x}{2}+1\) est asymptote oblique à \(C\).
    7. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)
    8. Vrai. On le conjecture à partir du graphique !En réalité, la fonction est \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\frac{x}{2}+1+xe^{-x}\) . Soit \(C\) la courbe représentative de \(f\) et soit \(D\) la droite d'équation : \(y=\frac{x}{2}+1\) . Étudier la position de \(D\) par rapport à \(C\). On étudie le signe de \(y_{C}-y_D=f(x)-\left (\frac{x}{2}+1\right )=xe^{-x}\). La fonction exponentielle étant strictement positive sur \(\mathbb{R}\), on déduit que \(y_{C}-y_D\) a le signe de \(x\). D'où le tableau de signes : Tableau
      • \(y_C-y_D=0 \Leftrightarrow x=0\) \(C\) et \(D\) ont un seul point commun \(I(0;1)\).
      • \(y_C-y_D > 0 \Leftrightarrow x > 0\) \(C\) est située au dessus de \(D\) sur \(]0;+\infty[\).
      • \(y_C-y_D < 0 \Leftrightarrow x < 0\) \(C\) est située en-dessous de \(D\) sur \(]-\infty;0[\).

    Exercice

    On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=2x+1-x\ln x\) .
    1. Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\) sur \(]0;+\infty[\) .
      \(f=u+v\) où \(u(x)=2x+1\) et \(v(x)=-x\ln x\)
      \(u'(x)=2\) et \(v=a\times b\) avec \(a(x)=-x\) et \(b(x)=\ln x\)
      On a alors \(a'(x)=-1\) et \(b'(x)=\dfrac{1}{x}\)


      Comme \((a\times b)'=a'b+b'a\)

      \(v'(x)=-1\times \ln x +\dfrac{1}{x} \times(-x)=-\ln x -1 \)
      On a alors \(f'x)=u'(x)+v'(x)=2-1-\ln x=1-\ln x\)
      Tableau de variation ( Non demandé !)
    2. \(f\left (\frac{1}{e}\right)=2\times \frac{1}{e}\ +1-\frac{1}{e}\times \ln \left (\frac{1}{e}\right )=\frac{3}{e}+1\)
    3. on obtient \(f(\sqrt e)=\dfrac{3}{2}\sqrt e+1\)
    4. on obtient \(f(e^2)=1\)
    5. Vérifier que \(f(x)=x(2-\ln x)+1\) .
      Il suffit de développer ! \(=x(2-\ln x)+1=2x-x\ln x +1=f(x)\).
      En déduire \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\) .
      \(\left.\begin{array}{r} \text{ Limite usuelle: }\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x =+\infty \lim\limits_{x\to +\infty} ~2-\ln x=-\infty\\ \lim\limits_{x\to +\infty}~ x =+\infty \end{array}\right\}\) par produit, \(\lim\limits_{x\to +\infty }~ x(2-\ln x)=+\infty\)

      \(\lim\limits_{x\to +\infty }~ f(x)=+\infty\)
 

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