Sujet Oral TSTI2D 05

Correction Oral 5 STI2D

Exercice

1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes \(z\) et \(z'\) :
   \(\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz' & = & -1 \\ z-z' & = & 2+i \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \) \(\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz'-z+z' & = & -1 -2-i\\ z & = &z'+ 2+i \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \) \(\left \{ \begin{array}{rcl} (1+i)z' & = & -3-i\;(1)<\\ z & = &z'+ 2+i\;(2) \end{array} \right. \) \((1)\Leftrightarrow z'=\dfrac{-3-i}{1+i}=\dfrac{(-3-i)(1-i)}{1^2+1^2}=\dfrac{-3+3i-i-1}{2} =\dfrac{-4+2i}{2}=-2+i\)
   \((2)\Leftrightarrow z=z'+ 2+i=-2+i+2+i=2i\)
   
   \(\mathcal{S}=\{(-2+i;2i)\}\)
   
   
2. Le plan complexe \(P\) est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique 3 cm ;
   on désigne par \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2} \).
   1. placer dans le plan les points \(A , B\) et \(C\) d'affixes respectives : \(z_A = -1 ;z_B = 2i \) et \(z_C =- 2 + i\).
      
   2. Calculer les modules des nombres complexes : \(z_B-z_A\) et \(z_B-z_C\).
      \(z_B-z_A=2i-(-1)=1+2i\) , puis \(\left | z_B-z_A\right |=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)
      \(z_B-z_C=2i-(-2+i)=2i+2-i=2+i\) , puis \(\left | z_B-z_C\right |=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)
      
      
      \(\left | z_B-z_A\right |=\left | z_B-z_C\right |=\sqrt {5} \)
      
      Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
      
      
      
      On sait que \(\left | z_B-z_A\right |=AB\); ainsi \(AB=CB\) ce qui prouve que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\)

   Exercice

   Un client entre dans un restaurant. On considère les événements suivants:
   A: « le client a choisi un menu» ,
   B: « le client a choisi un apéritif» .
   1. Définir par une phrase l'événement \(A\cap B\) .
      \(A\cap B\) :« le client a choisi un menu et le client a choisi un apéritif».
      dit autrement : \(A\cap B\) :« le client a choisi un menu avec un apéritif».
   2. On admet que \(P(B) = 0,6\). Calculer \(P(\bar{B} )\).
      
      
      \(P(\bar{B} )=1-P(B)=1-0,6=0,4\)
   3. 
      On admet de plus que \(P(A) = 0,2\) et \(P(A\cup B ) = 0,5\). Calculer alors \(P(A\cap B)\)
      \(P(A\cup )=P(A)+P(B)-P(A\cap B )\), donc \(0,5=0,2+0,6-P(A\cap B )\),
      
      On déduit \(P(A\cap B )=0,3\)