Sujet Oral TSTI2D 04

oui
oui
STI2D
Année 2014
Probabilités,Fonction ln
Loi normale

ORAL 4 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 

Fonction ln



Exercice
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0 ;+\infty [\) par \(g(x)=-2x^2-1+\ln x\) .

  1. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [\) . Étudier son signe sur \(]0 ;+\infty [\).
  2. Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(]0 ;+\infty [\) .
  3. En déduire que pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [ , g(x) < 0\).
Probabilités LOI NORMALE



Exercice

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée. La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale d'espérance \(100\) et d'écart type \(0,43\).

fin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités. Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a& p\left( X \leqslant a \right) & &a&p\left( X \leqslant a \right)& &a&p\left( X \leqslant a \right)\\ \hline 98 &0,00000165 &&99,5 &0,12245722 &&101 &0,98997955 \\ \hline 98,5 &0,00024299 &&100 &0,50000000 &&101,5 &0,99975701 \\ \hline 99 &0,01002045 &&100,5 &0,87754278 &&102 &0,99999835 \\ \hline \end{array}\]

Les résultats seront donnés à \(10^{- 2}\) près. Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.

  1. Déterminer la probabilité de l'évènement « \(X > 99\) ».
  2. Déterminer la probabilité de l'évènement « \(99 \leqslant X \leqslant 101\) ».
  3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
  4.  
 

Correction Oral 4 STI2D

Exercice

On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0 ;+\infty [\) par \(g(x)=-2x^2-1+\ln x\) .
  1. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [\) . Étudier son signe sur \(]0 ;+\infty [\).
    On obtient \(g'(x)=-2\times 2x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}-4x=\dfrac{1-4x^2}{x}=\dfrac{(1-2x)(1+2x)}{x}\)

    \(g'(x)=\dfrac{(1-2x)(1+2x)}{x}\)

    Signe de la dérivée :
    On travaille sur \(]0;+\infty[\), donc \(x>0\) de m\^eme, on a \(1+2x>0\), donc \(g'(x)\) a le signe de \(1-2x\)
    • \(g'(x)=0 \Leftrightarrow 1-2x=0 \Leftrightarrow -2x = -1 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
    • \(g'(x)>0 \Leftrightarrow 1-2x>0 \Leftrightarrow -2x > -1 \Leftrightarrow x< \dfrac{1}{2}\)

      En divisant par -2 < 0 , pensez à changer le sens de l'inégalité !


  2. Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(]0 ;+\infty [\) .

    On a bien sûr calculé \(g\left (\frac{1}{2}\right )=-2\times \left (\dfrac{1}{2}\right )^2-1+\ln \left (\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2} -1-\ln 2 =-\dfrac{3}{2}-\ln 2\)
  3. En déduire que pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [ , g(x) < 0\).
    D'après l'étude de variations, la fonction \(g\) présente un maximum absolu sur \(]0;+\infty[\) en \(x==\dfrac{1}{2}\) qui vaut \(m==-\dfrac{3}{2}-\ln 2\approx -2,2\).
    Ce maximum étant strictement négatif, on a bien prouvé que \(g(x)<0\) pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [ \)
Un dessin?

ExerciceProbabilités

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée.
La masse en gramme de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0.43.

 

Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités.
\[\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 98 & 0,0000165 \\ \hline 98,5 & 0,00024299 \\ \hline 99 & 0,01002045 \\ \hline \end{array}\]   \[\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 99,5 & 0,12245722 \\ \hline 100 & 0,50000000 \\ \hline 100,5 & 0,87754278 \\ \hline \end{array}\]   \[\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 101 & 0,9899755 \\ \hline 98,5 & 0,99975701 \\ \hline 99 & 0,99999835 \\ \hline \end{array} \]
Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0.43.
Les résultats seront donnés à \( 10^{-2}\) près. Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.
  1. Déterminer la probabilité de l'évènement «  \(X>99\) ».
    2nd   DISTR   Normalcdf( 99  , \(10 ^{99}\),100   ,0.43)EXE 
    \(Normalcdf(99,10 ^{99} ,100,0.43)\approx 0,9899\)

    Exo N1Remarque : La commande Normalcdf  pour une calculatrice de type TI83 en anglais doit être remplacée par NoormalFRép si celle-ci est en français ...
    \(P(X>99)\approx 0,99\) à \( 10^{-2}\) près.
  2. Déterminer la probabilité de l'évènement «  99\(\leq X \leq 101\)» .
    2ND   DISTR   NORMALCDF( 99  , 101,100   ,0.43)EXE 

    \(Normalcdf(99,101 ,100,0.43)\approx 0,9799\)
    Exo N2
    \(P(99\leq X \leq 101)\approx 0,98\) à \( 10^{-2}\) près.
  3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée de est comprise entre 99 grammes et 101 grammes.
    Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
    Notons \(C\) :«  Le pot est jugé conforme» \(C=99\leq X \leq 101\)
    On veut calculer \(P(\overline{C})=1-P(C)=1-P(99\leq X \leq 101)\approx 1-0,9799\approx 0,02\)
    La probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme est environ 0,02.

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
172
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
7871355