Sujet Oral TSTI2D 03

oui
oui
STI2D
Année 2014
QCM,Nombres complexes

ORAL 3 STI2D



Exercice

Question 1

Le nombre complexe \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement :

  1. 6 et \(\frac{5\pi}{6}\)
  2. 6 et \(\frac{\pi}{6}\)
  3. 6 et \(-\frac{\pi}{6}\)
  4. 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)
Question 2

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\)
On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.
Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ?

  1. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).
  2. la rotation de centre O et d'angle \(-\frac{\pi}{2}\).
  3. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{4}\).
Question 3

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\) Le point K d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O a pour affixe le nombre complexe :

  1. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  2. \(z_{\text{K}}=6 e^{-4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  3. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{6}}\)
Question 4

On considère dans \(\mathbb{C}\) l'équation d'inconnue \(z^2 + 6z\sqrt{3}+36 = 0\).

  1. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3 \text{i} \) et \(-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)
  2. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3\) et \(-3\sqrt{3}-3\)
  3. L'équation n'a pas de solution.
 

Correction Oral 3 STI2D

Exercice

Question 1

Le nombre complexe \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement :

  1. 6 et \(\frac{5\pi}{6}\)
  2. 6 et \(\frac{\pi}{6}\)
  3. 6 et \(-\frac{\pi}{6}\)
  4. 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)

On calcule son module \(\left |z_{B}\right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left (-3\sqrt{3} \right )^2+(-3)^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6\)
On détermine un argument en calculant :
\(\left \{ \begin{array}{rcl} \cos\theta& = & \dfrac{a}{r}=\dfrac{-3\sqrt{3}}{6} =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin\theta& = & \dfrac{b}{r}=\dfrac{-3}{6} =-\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\)
Par lecture sur le cercle trigonométrique \(\theta=\frac{7\pi}{6}\)

Le nombre complexe \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement : 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)

Question 2

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\)
On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.
Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ?

  1. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).
  2. la rotation de centre O et d'angle \(-\frac{\pi}{2}\).
  3. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{4}\).



Avec la figure, on affirme que K est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).

Question 3

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\)
Le point K d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O a pour affixe le nombre complexe :

  1. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  2. \(z_{\text{K}}=6 e^{-4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  3. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{6}}\)

On peut affirmer que \(K\) est l'image de \(A\) dans la rotation \(r\) de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\)..
Cette rotation a pour écriture complexe : \(z'=e^{i \frac{\pi}{2}}z\) .
On a vu au a) que \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement : 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)
Donc \(z_B=6e^{i \frac{7\pi}{6}}\), comme \(z_A=\bar{z_B}\) ,on déduit \(z_A=6e^{-i \frac{7\pi}{6}}=6e^{i \frac{5\pi}{6}}\)
\(r(A)=K\) donc \(z_K=e^{i \frac{\pi}{2}}z_A=e^{i \frac{\pi}{2}}\times =6e^{i \frac{5\pi}{6}} =6e^{i \frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}}=6e^{i \frac{8\pi}{6}}=6e^{i \frac{4\pi}{3}}\)

Le point K a pour affixe le nombre complexe :\(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)

Question 4

On considère dans \(\mathbb{C}\) l'équation d'inconnue \(z^2 + 6z\sqrt{3}+36 = 0\).

  1. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3 \text{i} \) et \(-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)
  2. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3\) et \(-3\sqrt{3}-3\)
  3. L'équation n'a pas de solution.

On calcule \(\Delta =b^2-4ac=\left (6\sqrt 3\right )^2-4\times 1\times 36=-36\)
Comme \(\Delta < 0\), l'équation a deux racines complexes conjuguées:
\(z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-6\sqrt 3+6i}{2}=-3\sqrt{3}+3 \text{i}\) et \(z_2=\bar{z_1}=-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)

Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3 \text{i} \) et \(-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)

 

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