Sujet Oral TSTI2D 02

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Fonction exp

Oral 2 STI2D

Une fonction exponentielle
Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 




Exercice
 A. Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) , ainsi que les tracés de son asymptote \(D\) et d'une tangente \(T \)(unités : 2 cm sur \((Ox)\) et 1 cm sur \((Oy)\) ).
Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique

  1. Quelle est l'équation de la tangente \(T\) au point \(A\) d'abscisse 0 ?
  2. Quelle limite de \(f\) en \(+ \infty\) et \(- \infty\) le graphique laisse t'il prévoir ?
  3. Donner des encadrements par deux entiers consécutifs des solutions de l'équation \(f(x)=0\) .

B. La fonction \(f\) est définie sur par \(f(x) = 2e^x -3x- 4\).

  1. Quelle est la dérivée de \(f\) ?
  2. Etudier le signe de la fonction dérivée \(f'\) ?
  3. Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Démontrer que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) .

C. Calcul d'aire

  1. Calculer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équation \( x = -1\) et \(x = -1\).
 

Correction Oral 2 STI2D

Exercice

A. Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) , ainsi que les tracés de son asymptote \(D\) et d'une tangente \(T \)(unités : 2 cm sur \((Ox)\) et 1 cm sur \((Oy)\) ).


 Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique

  1. Quelle est l'équation de la tangente \(T\) au point \(A\) d'abscisse 0 ?
    La tangente \(T\) passe par \(A(0;-2)\) et a pour coefficient directeur \(-\dfrac{1}{2}\) ( Lecture graphique )


    Ainsi \(T:y=-\dfrac{1}{2}x-2\)

  2. Quelle limite de \(f\) en \(+ \infty\) et \(- \infty\) le graphique laisse t'il prévoir ?
    On conjecture \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty\)
  3. Donner des encadrements par deux entiers consécutifs des solutions de l'équation \(f(x)=0\) .
    L'équation \(f(x)=0\) a deux solutions \(\alpha \) et \(\beta\) où \(-2 < \alpha < -1\) et \(1 < \beta < 2\)

B. La fonction \(f\) est définie sur par \(f(x) = 2e^x -3x- 4\).

  1. Quelle est la dérivée de \(f\) ?
    On a \(f'x)=2e^x-3\)
  2. Etudier le signe de la fonction dérivée \(f'\) ?
    • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 2e^x -3=0 \Leftrightarrow 2e^x =3 \Leftrightarrow e^x =\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \ln (e^x)=\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\Leftrightarrow x=\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
    • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow2e^x -3>0 \Leftrightarrow 2e^x >3 \Leftrightarrow e^x >\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \ln (e^x)>\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\Leftrightarrow x>\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
    On a ici utilisé le fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
  3. Dresser le tableau de variation de \(f\).

    On a bien sûr calculé \(f\left (\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\right )=2e^{\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )}-3\times \ln\left (\dfrac{3}{2}\right )-4=2\times \dfrac{3}{2}-3\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )-4=-1-3\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
  4. Démontrer que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) .
    On forme \(f(x)-(-3x-4)=2e^x\)
    or \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0\), donc \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}2e^x=0\)
    On a donc \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [f(x)-(-3x-4)\right ]=0\).

    ce qui prouve que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) au voisinage de \(-\infty\).

C. Calcul d'aire

  1. Calculer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
    \(f(x) = 2e^x -3x- 4\), d'où on déduit \(F(x)=2e^x-3\dfrac{x^2}{2}-4x\)
    La primitive d'une somme est égale à la somme des primitives.
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équation \( x = -1\) et \(x = -1\).
    Comme la fonction \(f\) est négative sur \([-1;1]\), sa courbe est située en-dessus de \((Ox)\) sur \(]\alpha;\beta[\) donc sur \([-1;1]\), l'aire cherchée vaut donc :
    \[A =\displaystyle\int_{-1}^1 -f(x)\;dx u.a.=\left [-F(x)\right ]_{-1}^1=-F(1)+F(-1)\]On utilise \(F(x)=2e^x-3\dfrac{x^2}{2}-4x\) on calcule successivement :
    • \(F(1)=2e^1-3\dfrac{1^2}{2}-4=2e-\dfrac{11}{2}\)
    • \(F(-1)=2e^{-1}-3\dfrac{1}{2}+4=2e^{-1}+\dfrac{5}{2}\)
    • \(F(-1)-F(1)=8+2e^{-1}-2e\)
    L'unité d'aire vaut \(2cm \times 1cm=2cm^2\), donc \(A=2\left (8+2e^{-1}-2e \right )cm^2\)

    \(A=16+4e^{-1}-4e\;cm^2\approx 6,60\;cm^2 \)

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