Sujet Oral TSTI2D 02

Correction Oral 2 STI2D

Exercice

A. Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) , ainsi que les tracés de son asymptote \(D\) et d'une tangente \(T \)(unités : 2 cm sur \((Ox)\) et 1 cm sur \((Oy)\) ).


 Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique

1. Quelle est l'équation de la tangente \(T\) au point \(A\) d'abscisse 0 ?
   La tangente \(T\) passe par \(A(0;-2)\) et a pour coefficient directeur \(-\dfrac{1}{2}\) ( Lecture graphique )
   
   
   Ainsi \(T:y=-\dfrac{1}{2}x-2\)
2. 
   Quelle limite de \(f\) en \(+ \infty\) et \(- \infty\) le graphique laisse t'il prévoir ?
   On conjecture \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty\)
3. Donner des encadrements par deux entiers consécutifs des solutions de l'équation \(f(x)=0\) .
   L'équation \(f(x)=0\) a deux solutions \(\alpha \) et \(\beta\) où \(-2 < \alpha < -1\) et \(1 < \beta < 2\)

B. La fonction \(f\) est définie sur par \(f(x) = 2e^x -3x- 4\).

1. Quelle est la dérivée de \(f\) ?
   On a \(f'x)=2e^x-3\)
2. Etudier le signe de la fonction dérivée \(f'\) ?
   • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 2e^x -3=0 \Leftrightarrow 2e^x =3 \Leftrightarrow e^x =\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \ln (e^x)=\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\Leftrightarrow x=\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
   • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow2e^x -3>0 \Leftrightarrow 2e^x >3 \Leftrightarrow e^x >\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \ln (e^x)>\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\Leftrightarrow x>\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
   On a ici utilisé le fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
3. Dresser le tableau de variation de \(f\).
   
   On a bien sûr calculé \(f\left (\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\right )=2e^{\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )}-3\times \ln\left (\dfrac{3}{2}\right )-4=2\times \dfrac{3}{2}-3\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )-4=-1-3\ln\left (\dfrac{3}{2}\right )\)
4. Démontrer que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) .
   On forme \(f(x)-(-3x-4)=2e^x\)
   or \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0\), donc \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}2e^x=0\)
   On a donc \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [f(x)-(-3x-4)\right ]=0\).
   
   ce qui prouve que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) au voisinage de \(-\infty\).

C. Calcul d'aire

1. Calculer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
   \(f(x) = 2e^x -3x- 4\), d'où on déduit \(F(x)=2e^x-3\dfrac{x^2}{2}-4x\)
   La primitive d'une somme est égale à la somme des primitives.
2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équation \( x = -1\) et \(x = -1\).
   Comme la fonction \(f\) est négative sur \([-1;1]\), sa courbe est située en-dessus de \((Ox)\) sur \(]\alpha;\beta[\) donc sur \([-1;1]\), l'aire cherchée vaut donc :
   \[A =\displaystyle\int_{-1}^1 -f(x)\;dx u.a.=\left [-F(x)\right ]_{-1}^1=-F(1)+F(-1)\]On utilise \(F(x)=2e^x-3\dfrac{x^2}{2}-4x\) on calcule successivement :
   • \(F(1)=2e^1-3\dfrac{1^2}{2}-4=2e-\dfrac{11}{2}\)
   • \(F(-1)=2e^{-1}-3\dfrac{1}{2}+4=2e^{-1}+\dfrac{5}{2}\)
   • \(F(-1)-F(1)=8+2e^{-1}-2e\)
   L'unité d'aire vaut \(2cm \times 1cm=2cm^2\), donc \(A=2\left (8+2e^{-1}-2e \right )cm^2\)
   
   \(A=16+4e^{-1}-4e\;cm^2\approx 6,60\;cm^2 \)