Sujet Oral TSTI2D 01

Correction Oral 1 STI2D

Exercice

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0 +\infty[\) par : \(f(x) = x - \ln x\). \(C\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unités 2 cm.

1. Quelle limite de \(f\) en 0 le graphique laisse t'il prévoir ?
   A partir du graphique on conjecture :
   
   \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty\)
   
   Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?
   
   La droite d'équation \(=0\) est asymptote verticale à \(C\)
2. 
   Montrer que \(f(x) = x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\).
   Il suffit de factoriser par \(x\) dans \(f(x)\) ou développer l' écriture \(x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\)
   Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\)
   sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\), on déduit \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}1-\dfrac{\ln x}{x}= 1\).
   
   \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to +\infty} 1-\dfrac{\ln x}{x}= 1\\ \lim\limits_{x\to +\infty}~ x =+\infty \end{array}\right\}\) par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=+\infty\)
3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = \dfrac{x-1}{x}\) et en déduire son signe.
   Dresser le tableau de variation de \(f\).
   On a\(f=u+v\) donc \(f'=u'+v'\)
   Ainsi \(f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}\)
   On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur \(]0;+\infty[\); on a \(x>0\) et donc la dérivée a le signe de \(x-1\)
   
   • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\)
   • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow x-1>0 \Leftrightarrow x>1\)
   
   On a bien sûr calculé \(f(1)=1-\ln 1=1\)
4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( \dfrac{1}{2}\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
   La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= \dfrac{1}{2}\) a pour équation : \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]Ici \(a= \dfrac{1}{2}\), on calcule successivement :
   • \(f\left(\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}-\ln\left (\dfrac{1}{2}\right )= \dfrac{1}{2}+\ln 2\)
     On a utilisé \(
     ln\left (\dfrac{1}{a}\right )=-\ln a\)
   • \(f'\left (\dfrac{1}{2}\right )=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
   Ainsi \(T:y=\dfrac{1}{2}\left (x-\dfrac{1}{2}\right )+\dfrac{1}{2}+\ln 2\)
   
   
   \(T:y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\ln 2\)

B. Calcul d'aire

1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
   Il suffit de dériver !
   \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - x \ln x\)
   \(F=u+v\) où \(u(x)=\frac{x^2}{2} + x\) et \(v(x)=- x \ln x\)
   donc \(u'(x)=\frac{1}{2}\times 2x+1=x+1\),
   par ailleurs \(v=a.b\) où \(a(x)=-x\) et \(b(x)=\ln x\)
   on a alors \(a'(x)=-1\) et \(b'(x)=\dfrac{1}{x}\)
   \(v'=a'b+b'a\), soit \(v'(x)=-1\times\ln x + \dfrac{1}{x}\times (-x)=-\ln x -1\)
   \(F'=u'+v'\), donc \(F'(x)=x+1-\ln x-1=x-\ln x\)
   On a bien montré que \(F'(x)=f(x)\), donc \(F\) est une primitive de \(f\)
2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).
   
   Comme la fonction \(f\) est positive sur \([1;2]\), sa courbe est située au dessus de \((Ox)\) sur \(]0;+\infty[\) donc sur \([1;2]\), l'aire cherchée vaut donc :
   \[A =\displaystyle\int_1^2f(x)\;dx u.a.=\left [F(x)\right ]_1^2=F(2)-F(1)\]On utilise \(F(x)=\frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) on calcule successivement :
   • \(F(1)=\frac{1^2}{2} + 1 - 1 \ln 1=\frac{3}{2}\)
   • \(F(2)=\frac{2^2}{2} +2 - 2 \ln 2=4 - 2 \ln 2\)
   • \(F(2)-F(1)=4 - 2 \ln 2-\frac{3}{2}=- 2 \ln 2+\frac{5}{2}\)
   L'unité d'aire vaut \(2cm \times 2cm=4cm^2\), donc \(A=4\left (\frac{5}{2}-2\ln2 \right )cm^2\)
   
   \(A=10-8\ln2 \;cm^2\approx 4,45\;cm^2 \)