Sujet Oral TSTI2D 01

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Fonction ln

Oral 1 STI2D

Une étude de fonction ln



Exercice

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0 +\infty[\) par : \(f(x) = x - \ln x\).
\(C\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unités 2 cm.
Oral STI2D sujet 01

  1. Quelle limite de \(f\) en 0 le graphique laisse t'il prévoir ? Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?
  2. Montrer que \(f(x) = x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\). Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
  3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = \dfrac{x-1}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( \dfrac{1}{2}\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
Un Calcul d'aire

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).
 

Correction Oral 1 STI2D

 

Exercice

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0 +\infty[\) par : \(f(x) = x - \ln x\). \(C\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unités 2 cm.

 

  1. Quelle limite de \(f\) en 0 le graphique laisse t'il prévoir ?
    A partir du graphique on conjecture :

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty\)

    Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?

    La droite d'équation \(=0\) est asymptote verticale à \(C\)

  2. Montrer que \(f(x) = x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\).
    Il suffit de factoriser par \(x\) dans \(f(x)\) ou développer l' écriture \(x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\)
    Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\)
    sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\), on déduit \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}1-\dfrac{\ln x}{x}= 1\).

    \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to +\infty} 1-\dfrac{\ln x}{x}= 1\\ \lim\limits_{x\to +\infty}~ x =+\infty \end{array}\right\}\) par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}~f(x)=+\infty\)
  3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = \dfrac{x-1}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
    On a\(f=u+v\) donc \(f'=u'+v'\)
    Ainsi \(f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}\)
    On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur \(]0;+\infty[\); on a \(x>0\) et donc la dérivée a le signe de \(x-1\)
    • \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\)
    • \(f'(x)>0 \Leftrightarrow x-1>0 \Leftrightarrow x>1\)

    On a bien sûr calculé \(f(1)=1-\ln 1=1\)
  4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( \dfrac{1}{2}\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
    La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= \dfrac{1}{2}\) a pour équation : \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]Ici \(a= \dfrac{1}{2}\), on calcule successivement :
    • \(f\left(\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}-\ln\left (\dfrac{1}{2}\right )= \dfrac{1}{2}+\ln 2\)
      On a utilisé \(
      ln\left (\dfrac{1}{a}\right )=-\ln a\)
    • \(f'\left (\dfrac{1}{2}\right )=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
    Ainsi \(T:y=\dfrac{1}{2}\left (x-\dfrac{1}{2}\right )+\dfrac{1}{2}+\ln 2\)


    \(T:y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\ln 2\)

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
    Il suffit de dériver !
    \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - x \ln x\)
    \(F=u+v\) où \(u(x)=\frac{x^2}{2} + x\) et \(v(x)=- x \ln x\)
    donc \(u'(x)=\frac{1}{2}\times 2x+1=x+1\),
    par ailleurs \(v=a.b\) où \(a(x)=-x\) et \(b(x)=\ln x\)
    on a alors \(a'(x)=-1\) et \(b'(x)=\dfrac{1}{x}\)
    \(v'=a'b+b'a\), soit \(v'(x)=-1\times\ln x + \dfrac{1}{x}\times (-x)=-\ln x -1\)
    \(F'=u'+v'\), donc \(F'(x)=x+1-\ln x-1=x-\ln x\)
    On a bien montré que \(F'(x)=f(x)\), donc \(F\) est une primitive de \(f\)
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).

    Comme la fonction \(f\) est positive sur \([1;2]\), sa courbe est située au dessus de \((Ox)\) sur \(]0;+\infty[\) donc sur \([1;2]\), l'aire cherchée vaut donc :
    \[A =\displaystyle\int_1^2f(x)\;dx u.a.=\left [F(x)\right ]_1^2=F(2)-F(1)\]On utilise \(F(x)=\frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) on calcule successivement :
    • \(F(1)=\frac{1^2}{2} + 1 - 1 \ln 1=\frac{3}{2}\)
    • \(F(2)=\frac{2^2}{2} +2 - 2 \ln 2=4 - 2 \ln 2\)
    • \(F(2)-F(1)=4 - 2 \ln 2-\frac{3}{2}=- 2 \ln 2+\frac{5}{2}\)
    L'unité d'aire vaut \(2cm \times 2cm=4cm^2\), donc \(A=4\left (\frac{5}{2}-2\ln2 \right )cm^2\)

    \(A=10-8\ln2 \;cm^2\approx 4,45\;cm^2 \)
 

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