DM04 TITEC2 fonction logarithme


Fonction logarithme

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[f(x) = 6 \ln x + ax + b\]où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.
On appelle \(\mathcal{C}_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)\).

  • Le point A(1;1) appartient à \(\mathcal{C}_{f}\).
  • \(\mathcal{C}_{f}\) admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

PARTIE A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé \(\mathcal{C}_{f}\) (trait plein) ainsi que les courbes \(\Gamma\) et \(\Omega\). L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée \(f'\) de \(f\) et l'autre représente une primitive \(F\) de \(f\).

  1. Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de \(F\).
  2. Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\) et \(f'(2)\).
  3. Donner l'expression de \(f'(x)\) en fonction de \(x\) et de \(a\).
  4. l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout \(x\) de l'intervalle \(]0; + \infty[\), \[f(x) = 6\ln x - 3x + 4.\]

PARTIE B

Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) fournie dans la partie A.

  1. Calculer la limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). Interpréter graphiquement cette limite.
  2. Montrer que pour tout \(x\) de l'intervalle \(]0; + \infty[ , f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x).\)
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) puis donner les variations de la fonction \(f\).
  4. En déduire que la fonction \(f\) admet un extremum dont on calculera la valeur exacte.

PARTIE C

Soit \(H\) la fonction définie sur \(]0; + \infty[\) par: \[H(x) = 6x\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x.\]

  1. Montrer que \(H\) est une primitive de \(f\) sur \(]0; + \infty[\).
  2. Calculer la valeur exacte de \(I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{dx}.\)
  3. Donner une interprétation graphique du nombre \(I\).
    1. l'aide du graphique, donner la valeur de \(F(1)\).
    2. En déduire une expression de \(F(x)\) pour tout \(x\) dans l'intervalle \(]0; + \infty[\).

 

::/ennonce::
::correction::

Exercice 4 7 points


Fonction logarithme

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[f(x) = 6 \ln x + ax + b\]où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.
On appelle \(\mathcal{C}_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)\).

  • Le point A(1;1) appartient à \(\mathcal{C}_{f}\).
  • \(\mathcal{C}_{f}\) admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

PARTIE A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé \(\mathcal{C}_{f}\) (trait plein) ainsi que les courbes \(\Gamma\) et \(\Omega\). L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée \(f'\) de \(f\) et l'autre représente une primitive \(F\) de \(f\).

  1. Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de \(F\).
  2. Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\) et \(f'(2)\).
  3. Donner l'expression de \(f'(x)\) en fonction de \(x\) et de \(a\).
  4. l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout \(x\) de l'intervalle \(]0; + \infty[\), \[f(x) = 6\ln x - 3x + 4.\]

PARTIE B

Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) fournie dans la partie A.

  1. Calculer la limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). Interpréter graphiquement cette limite.
  2. Montrer que pour tout \(x\) de l'intervalle \(]0; + \infty[ , f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x).\)
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) puis donner les variations de la fonction \(f\).
  4. En déduire que la fonction \(f\) admet un extremum dont on calculera la valeur exacte.

PARTIE C

Soit \(H\) la fonction définie sur \(]0; + \infty[\) par: \[H(x) = 6x\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x.\]

  1. Montrer que \(H\) est une primitive de \(f\) sur \(]0; + \infty[\).
  2. Calculer la valeur exacte de \(I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{dx}.\)
  3. Donner une interprétation graphique du nombre \(I\).
    1. l'aide du graphique, donner la valeur de \(F(1)\).
    2. En déduire une expression de \(F(x)\) pour tout \(x\) dans l'intervalle \(]0; + \infty[\).

 

 

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