DM 03 TITEC2 suites, et fonctions : le corrigé

 

Suites et fonctions...

Exercice 1 : On rembourse !...
Une entreprise achète à crédit une machine coûtant 100 000 €.

Un premier organisme de crédit SOCOFIN propose un remboursement en 12 mensualités.

Les mensualités sont les termes d’une suite. Le 1er remboursement vaut \(u_1= 11 359\)€, puis les remboursements diminuent de 5% chaque mois. On arrondira à \(10^{-2}\).

  1. Calculer \(u_2\) et \(u_ 3\). Quelle est la nature de la suite \((u_n)\)?
    • \(u_2=u_1-5\%u_1=u_1-0,05u_1=0,95u_1=0,95 \times 11 359=10 791,05\)
    • \(u_3=u_2-5\%u_2=u_2-0,05u_2=0,95u_2=0,95 \times 10 791,05=10 251,50\)
    • \(u_{n+1}=u_n- 5\% u_n=u_n-0,05u_n=0,95u_n\)
      La suite \((u_n)\) est donc géométrique de raison 0,95.
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}^{*}\).
  3. Comme \((u_n)\) est géométrique de raison 0,95, on a \(u_n = q^n \times u_0= 11 359\times 0,95^n \)
    \[u_n=11 359\times 0,95^n \]
    1. Calculer le montant réel remboursé par l’entreprise au bout de 12 mois.
    2. Le montant réel remboursé par l’entreprise au bout de 12 mois est : \begin{align*}S &= u_1+u_2+u_3+ \ldots +u_{12}&\\ &= \dfrac{(1-q^{N})}{ 1-q}P& N =\text{ nombre de termes de la somme} ,P = \text{premier terme de la somme } q =\text{ raison} \\ &= \dfrac{(1-0,95^{12})}{ 1-0,95}\times 11 359&\\ &= (1-0,95^{12}) \times 20\times 11 359&\\ & \approx 104 421&\\ \end{align*}
      Le montant réel remboursé par l’entreprise au bout de 12 mois est de 104 421 €
    3. En déduire le coût du crédit, c'est-à-dire le montant total des intérêts versés à l’organisme SOCOFIN.
    4. Le coût du crédit est de 4 421 € ( 104 421 €- 100 000€)
  4. Un 2nd organisme de crédit CELEMTE propose aussi un remboursement en 12 mensualités.
    Le 1er remboursement vaut  \(v_1= 6 461\) €, puis les remboursements augmentent de 5% chaque mois.
    1. Calculer le montant réel remboursé par l’entreprise au bout de 12 mois.
    2. Comme les remboursements augmentent de 5% chaque mois, on a pour tout entier \(n :v_{n+1}=v_n + 5% v_n=(1+0,05)v_n=1,05 v_n\)
      La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(1,05\).
      Le montant réel remboursé par l’entreprise CELEMTE au bout de 12 mois est : \begin{align*}S &= v_1+v_2+v_3+ \ldots +v_{12}&\\ &= \dfrac{(1-q^{N})}{ 1-q}P& N =\text{ nombre de termes de la somme} ,P = \text{premier terme de la somme } q =\text{ raison} \\ &= \dfrac{(1-1,05^{12})}{ 1-1,05}\times 6 461&\\ &= (1,05^{12}-1) \times 20\times 6461&\\ & \approx 102 840, 56&\\ \end{align*}
      Le montant réel remboursé par l’entreprise CELEMTE au bout de 12 mois est de 102 840, 56 €
    3. En déduire le coût du crédit versés à l’organisme CELEMTE.
    4. Le coût du crédit est de 2 840, 56 € ( 102 840, 56 €- 100 000€)
    5. Quel modèle vous semble préférable ?
    6. Le second modèle est préférable pour l'emprunteur.

 

Exercice 2 : Une fonction...
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\displaystyle\frac{15x+60}{x^2+9}\). On note \(f'\) la dérivée de la fonction \(f\). Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée \(C_f\), est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. \(f=\dfrac{u}{v}\), donc \(f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\)
    \[\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =15x+60 \\ v(x)~ =x^2+9 \end{array}\right.\]d'où : \[\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =15\\ v'(x)~ =2x \end{array}\right.\]Ainsi \(f'(x)= \dfrac{15(x^2+9)-2x(15x+60)}{(x^2+9)^2}=\dfrac{-15 x^2 -120x+135}{(x^2+9)^2}\)
    \(f'(x)=\dfrac{-15 x^2 -120x+135}{(x^2+9)^2}\)
  3. Etudier le signe de \(f'(x)\).
  4. Le dénominateur est le carré d'un réel non nul; il est donc strictement positif.
    \(f'(x)\) a donc le signe du numérateur : \(-15 x^2 -120x+135= 15(-x^2-8x+9)\)
    \[f'(x)=0\iff -x^2-8x+9=0\]On calcule \(\Delta = 64-4\times (-1)\times 9 =100=10^2\)
    \(x_1=\dfrac{8+10}{-2}=-9\) et \(x_1=\dfrac{8-10}{-2}=1\)
  5. Donner le tableau des variations de \(f\).
  6. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(C_f\) au point d'abscisse \(-4\). Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente \(T\).
  7. La tangente \(T\) à \(C\) au point d'abscisse \(a= -4\) a pour équation : \[y=f'(-4)(x+4)+f(-4)\]Ici \(a= -4\), on calcule successivement :
    • \(f\left(-4 \right)=0\)
    • \(f'\left (-4\right )=-\dfrac{3}{5}\)
    Ainsi \(T:y=\dfrac{3}{5}\left (x+4\right )+0\)
    \[y = \dfrac{3}{5}x+\dfrac{12}{5}\]

 

 

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