Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole 11 septembre 2014

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Fonction ln


Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de \(10\) tonnes en orbite autour de la Terre par l'intermédiaire d'une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c'est-à-dire sans carburant ni satellite, de \(40\) tonnes. L'éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d'éjection des gaz est \(V_{\text{e}} = 3200 \) m.s\(^{-1}\). La vitesse finale de la fusée vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ dans les réservoirs. Elle doit être de \(8000\) m.s\(^{-1}\) pour permettre la mise en orbite souhaitée. Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre cette mise en orbite du satellite. On note \(x\) la masse, en tonnes, de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée. La masse \(x\) est comprise entre 100 et 900 tonnes. La masse totale de la fusée est alors \((x + 50)\) tonnes. Il est établi que la vitesse finale de la fusée, \(f(x)\), exprimée en m· s\(^{-1}\), est donnée par \[f(x) = V_{\text{e}} \times [\ln(x + 50) - \ln 50]\]où \(x\) est un réel de l'intervalle [100 ; 900].


  1. Montrer que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle [100 ; 900], \(f(x) = 3200 \times \ln (0,02x + 1)\). On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de \(f(x)\) pour répondre à chacune des questions suivantes.
  2. \(f(x)=V_e\times \left[\ln(x+50)−\ln50\right]\) avec \(Ve=3200m.s^{-1}\) d'où : \[\begin{array}{ll} f(x)&= 3200\times \left[\ln(x+50)−\ln50\right]\\ &=3200\times \ln\left(\dfrac{x+50}{50}\right)\\ & =3200\times \ln(0,02x+1) \end{array}\]
    \(f\) est la fonction définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([100;900]\) par \(f(x)=3200\times \ln(0,02x+1).\)
    1. Si les réservoirs contiennent au décollage 100 tonnes de propergol, quelle sera la vitesse finale de la fusée ?
    2. \(f(100)=3200\times\ln 3\approx 3515,6\)
      Avec 100 tonnes de propergol au décollage, la vitesse finale de la fusée sera d'environ \(3516m.s^{-1}.\)
    3. Avec 400 tonnes de propergol au décollage la mise en orbite sera-t-elle possible ?
    4. \(f(400)=3200\times \ln9\approx 7031,1\)
      Avec 400 tonnes de propergol au décollage, la vitesse finale de la fusée ne permettra pas la mise en orbite du satellite.
    1. Calculer la fonction dérivée \(f'\) de la fonction \(f\).
    2. \[\begin{array}{ll} f’(x)&= 3200\times \dfrac{0,02}{0,02x+1}\\ &\dfrac{64}{0,02x+1}\\ \end{array}\]
      \(f’\) est la fonction définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([100;900]\) par \(f’(x)=\dfrac{64}{0,02x+1}.\)
    3. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\).
    4. Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([100;900]\), \(0,02x+1>0 \) donc \(f’(x)>0\).
      La dérivée \(f’\) est positive sur l'intervalle \([100;900]\) donc la fonction \(f \) est croissante.
  3. Déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre la mise en orbite souhaitée.
  4. \[\begin{array}{ll} 3200\times \ln(0,02x+1)=8000&\iff \ln(0,02x+1)=2,5\\ &\iff 0,02x+1=e^{2,5}\\ &\iff 0,02x=e^{2,5}-1\\ &\iff x=\dfrac{e^{2,5}-1}{0,02}\\ &\iff x=50\left(e^{2,5}-1\right)\\ \end{array}\] Comme \(50\left(e^{2,5}-1\right)\approx 559,1\) et que la fonction \(f\) est croissante :
    \(560\) tonnes de de propergol sont nécessaires pour permettre la mise en orbite du satellite.

 

 

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