Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE Mars 2014 2013

Exercice 1 4 points

Nombres complexes

On note \(\mathrm{i}\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\). On considère les nombres complexes \(z_{1}, z_{2}\) et \(z_{3}\) définis par: \[z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.\]

1. Déterminer l'écriture exponentielle de \(z_{1}\).
2. Déterminer l'écriture algébrique de \(z_{2}\).
3. Démontrer que \(z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}\).
4. En déduire l'écriture algébrique de \(z_{3}\).
5. En déduire que \(\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\) et \(\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\).