Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE 2013

Exercice 1 5 points

Suites

La suite \(\left(u_{n}\right)\) est définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3\) et \(u_{0} = - 1\).

Partie A

1. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de \(u_{n}\). On obtient les résultats suivants : \[\begin{array}{ }\hline & A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline 1&\text{ Valeur de } n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 2&\text{Valeur de }u_n& - 1& 2,6 & 4,04 & 4,616 & 4,8464 & 4,9386 & 4,9754 & 4,9902 & 4,9961 & 4,9984 & 4,9994 \\ \hline \end{array}\]Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

   a. = 0,4^n +3

   b. = $ B$ 2*0,4+3

   c. =B2*0,4+3

   d.= 0,4 ^ C 1+3

2. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ?
3. On considère l'algorithme suivant : \[\begin{array}{|l l|}\hline \text{variables :} & p \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels,} \\ & u \text{ est un nombre réel }\\ \text{\entrée :} & \text{ saisir la valeur de } p \\ \text{initialisation :}& n \text{ prend la valeur } 0 , \\ & u \text{ prend la valeur } - 1 \\ \text{traitement :} & \text{ Tant que } |u - 5| > 10^{-p} \\ & \begin{array}{ |l} n \text{ prend la valeur } n + 1 \\ u \text{ prend la valeur } 0,4u + 3 \end{array}\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \text{ sortie :} & \text{Afficher la valeur de } n \\ \hline \end{array} \]À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque \(p = 2\).

Partie B

On étudie maintenant la suite \(\left(v_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_{n} = 6 \times (0,4)^n\).

1. Donner la nature de la suite \(\left(v_{n}\right)\) et ses éléments caractéristiques.
2. Déterminer la limite de \(\left(v_{n}\right)\) quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).
3. On admet que pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n} = 5 - v_{n}\). Déterminer la limite de \(\left(u_{n}\right)\).
4. 1. Déterminer en fonction de \(n\) la somme \(v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}\).
   2. En déduire en fonction de \(n\) la somme \(u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}\).