Lois normales

 

Introduction

Des arguments de type probabiliste peuvent être avancés et pris en compte dans les cours de justice. Un accusé d'origine mexicaine, condamné pour vol et tentative de viol dans un comté du sud du Texas attaqua le jugement sous le motif que la désignation des jurés dans l'Etat du Texas était discriminatoire pour les Américains d'origine mexicaine. Son argument était que ceux-ci n'étaient pas suffisamment représentés dans les jurys populaires.

Attendu de la Cour Suprême des Etats-Unis (affaire Castaneda contre Partida) :

« Si les jurés étaient tirés au hasard dans l'ensemble de la population, le nombre d'américains mexicains dans l'échantillon pourrait alors être modélisé par une  distribution binomiale \(\ldots\)

Etant donné que  79,1  %  de la population est mexico-américaine, le nombre attendu d'américains mexicains parmi les  870  personnes convoquées en tant que grands jurés pendant la période de 11 ans est approximativement 688. Le nombre observé est 339.

Bien sûr, dans n'importe quel tirage considéré, une certaine fluctuation par rapport au nombre attendu est prévisible. Le point essentiel cependant, est que le modèle statistique montre que les résultats d'un tirage au sort tombent vraisemblablement dans le voisinage de la valeur attendue?

La mesure des fluctuations prévues par rapport à la valeur attendue est l'écart type, défini pour la distribution binomiale comme la racine carrée de la taille de l'échantillon (ici 870) fois la probabilité de sélectionner un américain mexicain (ici 0,791) fois la probabilité de sélectionner un non américain mexicain (ici 0,209)?

Ainsi, dans ce cas, l'écart type est approximativement de 12.

En règle générale pour de si grands échantillons, si la différence entre la valeur attendue et le nombre observé est plus grand que deux ou trois écarts types, alors l'hypothèse que le tirage du jury était au hasard serait suspect à un spécialiste des sciences humaines.

Les données sur 11 années reflètent ici une différence d'environ 29 écarts types. Un calcul détaillé révèle qu'un éloignement aussi important de la valeur attendue se produirait avec moins d'une chance sur \(10^{140}\). »

Questions

  1. Définir la variable aléatoire qui, dans cette situation, suit une loi binomiale.
  2. Quels sont les paramètres de la loi binomiale ?
  3. A quel calcul correspond la valeur 688 ?
  4. Effectuer le calcul de l'écart-type
  5. A quoi correspond la « différence de 29 écarts types »?
  6. A quel évènement correspond la probabilité \(10^{-140}\) ?
  7. La constitution des jurys est-elle aléatoire ?

 

La population du Texas est assez grande pour que les 870 jurés soient assimilés à un échantillon de 870 boules tirées avec remise dans une urne qui en contient 1000 dont 791 vertes représentent les personnes d'origine mexicaine, les autres boules sont rouges.
La probabilité d'obtenir 339 boules vertes ou moins est égale à \(\displaystyle\sum_{k=0}^{339}\binom{870}{k}\times 0,791^k\times \left (1-0,791\right )^{870-k}\).
Les calculatrices classiques ne permettent pas d'effectuer ce calcul, à cause d'un dépassement de capacité au moment du calcul des coefficients binomiaux.

Il semble opportun « d'approcher »la loi \(\mathcal{B}\left (870;0,791\right )\) par une loi permettant de calculer \(P\left ([0;339]\right )\) plus facilement.

 

La première opération à effectuer semble être de « centrer »\(X_n\), suivant la loi \(\mathcal{B}(870;0,791)\), autour de 0.

 

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