Fonction exponentielle

Définition et premières propriétés

Il existe une unique fonction \(exp\),  définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\),  telle que \(exp'=exp\) et \(exp(0)=1\).
Cette fonction est la fonction exponentielle . Plus tard, on notera \(exp(x)=e^x\).

 

Remarque : On a donc \(exp'=exp\) et \(exp(0)=1\). L'existence est admise.
(on a tracé la courbe de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler TP info ... ).
Pour démontrer le théorème on s'appuie sur :

 

Lemme : Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\). La fonction \(exp(u)\) est dérivable sur \(I\) de dérivée \(exp(u)'=u'exp(u)\).

(Preuve du lemme ) \(exp(u)\) est une fonction composée de la forme \(v\circ u\) avec \(v=exp\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(u\) dérivable sur \(I\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Par le théorème de dérivation des fonctions composées, \(exp(u)\) est dérivable sur \(I\) de dérivée : \(exp(u)'=u'\times v'\circ u=u'\times exp(u)\)

Pour tout \(x\in\mathbb{R},~exp(x)exp(-x)=1\) donc \(exp(x)\neq 0\).

 Considérons la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=exp(x)exp(-x)\).

La fonction \(x\mapsto -x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), d'après le lemme , \(v:x\mapsto exp(-x)\) est aussi dérivable sur \(\mathbb{R}\) de dérivée donnée par \(v'(x)=-1\times exp'(-x)=-exp(-x)\) pour \(x\in\mathbb{R}\).
Comme produit de \(exp\) et \(v\) dérivables sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(h'(x)=exp'(x)v(x)+v'(x)exp(x)=exp(x)exp(-x)-exp(-x)exp(x)=0\),
donc \(h\) est constante égale à \(h(0)=exp(0)exp(-0)=1\).

D'où \(h(x)=1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

En conclusion, pour tout \(x\in\mathbb{R},~exp(x)exp(-x)=1\) donc \(exp(x)\neq 0\).

ROC (de l'unicité dans le théorème ) Soit \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) et vérifiant \(f'=f\) et \(f(0)=1\).
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{exp(x)}\]
La fonction \(g\) est bien définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), puisque \(exp\) ne s'annule pas .

\[\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},~ g'(x)=\frac{f'(x)exp(x)-exp'(x)f(x)}{exp(x)^2}=\frac{f(x)exp(x)-exp(x)f(x)}{exp(x)^2}=0\]

donc \(g\) est constante égale à \(g(0)=\frac{f(0)}{exp(0)}=1\).

D'où pour tout \(x\in\mathbb{R},~f(x)=exp(x)\).

Ainsi, \(exp\) est la seule fonction à satisfaire \(exp'=exp\) et \(exp(0)=1\).

On définit le nombre \(e\) par \(e=exp(1)\approx 2{,}718\) .


Soient \(ch\) ( cosinus hyperbolique ) et \(sh\) ( sinus hyperbolique ) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(\displaystyle ch(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}2\) et \(\displaystyle sh(x)=\frac{exp(x)-exp(-x)}2\). Montrer \(ch'=sh\) et \(sh'=ch\).

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