Matrices

IDéfinition et premières propriétés

ALes définitions

Soient \(\displaystyle{m}\) et \(\displaystyle{n}\) deux entiers naturels non nuls. Une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille ou de format (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\)) à coefficients réels est un tableau de réels composé de \(\displaystyle{m}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes.
Le terme situé sur la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne et la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne est appelé terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)).

  • Une matrice de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{n}\)), c'est-à-dire ne possédant qu'une seule ligne, est appelée matrice-ligne.
  • Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)), c'est-à-dire ne possédant qu'une seule colonne, est appelée matrice-colonne.
  • Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)), c'est-à-dire possédant \(\displaystyle{n}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes, est appelée matrice carrée d'ordre \(\displaystyle{n}\).
  • Les termes de positions (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)) d'une matrice carrée sont appelés coefficients diagonaux.
On considère qu'une matrice composée d'une ligne et d'une colonne est un réel.

Soit \(\displaystyle{A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \cr -1 & 1 & 5,6 \end{pmatrix}}\)

  • \(\displaystyle{A}\) est une matrice de taille (\(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\)).
  • Le terme de position (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{3}\)) de \(\displaystyle{A}\) est égal à \(\displaystyle{4}\).
  • Le terme de position (\(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\)) de \(\displaystyle{A}\) est égal à \(\displaystyle{5,6}\).

Soit \(\displaystyle{B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -8 & 0 \end{pmatrix}}\)

• \(\displaystyle{B}\) est une matrice-ligne de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{4}\)).

Soit \(\displaystyle{C = \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr -2 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}}\)

• \(\displaystyle{C}\) est une matrice-colonne de taille (\(\displaystyle{5}\), \(\displaystyle{1}\)).

Deux matrices sont égales si et seulement si elles sont de même taille et leurs coefficients sont deux à deux égaux en toute position.

BLes propriétés opératoires

  • Somme : pour sommer deux matrices de même format, on additionne à chaque position leurs termes deux à deux.
  • Multiplication par un réel : soient \(\displaystyle{A}\) une matrice et \(\displaystyle{\lambda}\) un réel, on calcule la matrice \(\displaystyle{\lambda A}\) est multipliant tous les termes de \(\displaystyle{A}\) par \(\displaystyle{\lambda}\).

IILe produit matriciel

APrincipe

On considère une matrice-ligne \(\displaystyle{L = \begin{pmatrix} a_1 & \cdots & a_n \end{pmatrix} }\) et une matrice-colonne \(\displaystyle{C = \begin{pmatrix} b_1 \cr \vdots \cr b_n \end{pmatrix} }\).
Le produit \(\displaystyle{L \times C}\), noté \(\displaystyle{LC}\), est un réel égal à :
\[ LC = a_1 b_1 +... + a_n b_n \]
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \cr 8 \cr -1 \end{pmatrix} = 1 \times (-3) + 0 \times 8 + (-2) \times (-1) = -1 }\)
On considère une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\)) et une matrice \(\displaystyle{B}\) de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{p}\)).
Le produit \(\displaystyle{AB}\) est égal à la matrice \(\displaystyle{C}\) de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{p}\)) telle que le terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)) de \(\displaystyle{C}\) est égal au produit de la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne de \(\displaystyle{A}\) par la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne de \(\displaystyle{B}\).
Le produit de deux matrices n'existe que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Ce qui signifie que le produit matriciel n'est pas commutatif : l'ordre de multiplication est important.
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} \color{Blue}{-1} & \color{Blue}{4} & \color{Blue}{3} \cr ... &... &... \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ... & \color{Green}{2} &... \cr ... & \color{Green}{0} &... \cr ... & \color{Green}{1} &... \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... & \color{Red}{1} &... \cr ... &... &... \end{pmatrix} }\)

Détail du calcul : \(\displaystyle{ \color{Red}{1} = \color{Blue}{-1} \times \color{Green}{2} + \color{Blue}{4} \times \color{Green}{0} + \color{Blue}{3} \times \color{Green}{1} }\)

Pour éviter les erreurs, la disposition suivante permet d'identifier aisément la ligne et la colonne à multiplier pour obtenir chaque terme de la matrice produit :

TS01513-01.PNG
On considère une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)) formées des colonnes \(\displaystyle{A_1}\),..., \(\displaystyle{A_n}\), et une matrice-colonne \(\displaystyle{X = \begin{pmatrix} x_1 \cr \vdots \cr x_n \end{pmatrix} }\) .
Le produit \(\displaystyle{AX}\) est égal à la matrice-colonne de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)) :
\[ AX = x_1 A_1 +... + x_n A_n \]

BL'expression matricielle d'un système

Soit \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\), \(\displaystyle{c}\), \(\displaystyle{d}\), \(\displaystyle{s}\) et \(\displaystyle{t}\) des réels. Le système \(\displaystyle{ \begin{cases} ax + by = s \cr cx + dy = t \end{cases} }\) est équivalent aux équations matricielles :
\[ \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cr t \end{pmatrix} \text{ ou } x \begin{pmatrix} a \cr c \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b \cr d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cr t \end{pmatrix} \]

IIILes matrices carrées

ALes matrices remarquables

On appelle matrice carrée d'ordre \(\displaystyle{n}\) une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)).
On appelle diagonale d'une matrice carrée les coefficients de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)).
On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls :
\[ \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} \] On note : \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,..., a_n) }\).
On appelle matrice identité d'ordre \(\displaystyle{n}\) la matrice carrée \(\displaystyle{I_n}\) d'ordre \(\displaystyle{n}\) formée d'une diagonale de \(\displaystyle{1}\) et de coefficients nuls ailleurs :
\[ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & 1 & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
La matrice identité est une matrice diagonale ; elle joue le rôle de \(\displaystyle{1}\) dans le produit matriciel.
On appelle matrice nulle d'ordre \(\displaystyle{n}\), notée \(\displaystyle{(0)_n}\), la matrice carrée d'ordre \(\displaystyle{n}\) dont tous les coefficients sont nuls.

BLes opérations

Soient \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) et \(\displaystyle{C}\) trois matrices carrées d'ordre \(\displaystyle{n}\), et \(\displaystyle{\lambda}\) un réel.

  • \(\displaystyle{ \lambda (AB) = (\lambda A) B = A (\lambda B)}\)
  • Associativité : \(\displaystyle{A(BC) = (AB) C}\)
  • Distributivité : \(\displaystyle{ A(B+C) = AB + AC }\) et \(\displaystyle{ (B+C) A = BA + CA }\)
  • \(\displaystyle{ A I_n = I_n A = A }\)
  • \(\displaystyle{ (0)_n = (0)_n A = (0)_n }\)
Deux matrices carrées \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) d'ordre \(\displaystyle{n}\) commutent si et seulement si :
\[ AB = BA \]
  • En général, \(\displaystyle{ AB \neq BA }\).
  • \(\displaystyle{AB}\) peut être nulle sans que ni \(\displaystyle{A}\) ni \(\displaystyle{B}\) ne soit nulle.
  • \(\displaystyle{AB = AC}\) n'implique pas nécessairement que \(\displaystyle{B=C}\).
On considère deux matrices diagonales \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,..., a_n) }\) et \(\displaystyle{B = \text{diag}(b_1,..., b_n) }\). On a :
\[ AB = BA = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n b_n \end{pmatrix} \]

CLes puissances

Soient \(\displaystyle{A}\) une matrice carrée d'ordre \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{k}\) un entier naturel non nul, on définit les puissances de \(\displaystyle{A}\) :
\[ A^k = \underbrace{ A \times... \times A }_{k} \]
Par convention, \(\displaystyle{ A^0 = I_n }\).
Pour tous entiers naturels non nuls \(\displaystyle{k}\) et \(\displaystyle{r}\) :
\[A^k \times A^r = A^{k+r}\]
On considère une matrice diagonale \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,..., a_n) }\) et \(\displaystyle{k}\) un entier naturel non nul. On a :
\[ A^k = \begin{pmatrix} a_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_{n}^{k} \end{pmatrix} \]

DL'inverse d'une matrice

La matrice carrée \(\displaystyle{A}\) d'ordre \(\displaystyle{n}\) est inversible si et seulement s'il existe une matrice \(\displaystyle{B}\) telle que :
\[ AB = BA = I_n \] La matrice \(\displaystyle{B}\) est alors appelée matrice inverse de \(\displaystyle{A}\) et est notée \(\displaystyle{A^{-1}}\). Elle est unique.
On considère les matrices \(\displaystyle{A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 0 & 2 \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{B = \begin{pmatrix} 1 & -\frac32 \cr 0 & \frac12 \end{pmatrix}}\), et on calcule leurs produits :

\(\displaystyle{AB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\frac32 \cr 0 & \frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{BA = \begin{pmatrix} 1 & -\frac32 \cr 0 & \frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix}}\)

On en déduit que \(\displaystyle{A}\) est inversible et que \(\displaystyle{A^{-1} = B}\).
On considère une matrice diagonale \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,..., a_n) }\). \(\displaystyle{A}\) est inversible si et seulement si aucun des coefficients de sa diagonale n'est nul, et on a :
\[ A^{-1} = \text{diag}\left( \frac{1}{a_1},..., \frac{1}{a_n} \right) \]
La matrice \(\displaystyle{A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \cr 0 & -3 & 0 \cr 0 & 0 & \frac34 \end{pmatrix}}\) est inversible et on a :

\(\displaystyle{A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac12 & 0 & 0 \cr 0 & -\frac13 & 0 \cr 0 & 0 & \frac43 \end{pmatrix}}\)

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