Probabilités discrètes

ILes probabilités conditionnelles

AConditionnement

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements, avec \(\displaystyle{A}\) de probabilité non nulle.
On définit la probabilité de \(\displaystyle{B}\) sachant \(\displaystyle{A}\) par :
\[ P_{A}(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

BIndépendance

Deux événements \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) sont indépendants si et seulement si :
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]
Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements de probabilités non nulles :
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \Leftrightarrow P_{A}(B) = P(B) \Leftrightarrow P_{B}(A) = P(A) \]

Soient \(\displaystyle{X}\) et \(\displaystyle{Y}\) deux variables aléatoires définies sur un univers \(\displaystyle{\Omega}\) telles que :

  • \(\displaystyle{X(\Omega) = {x_{1}, x_{2},..., x_{n}}}\)
  • \(\displaystyle{Y(\Omega) = {y_{1}, y_{2},..., y_{p}}}\)

Les variables \(\displaystyle{X}\) et \(\displaystyle{Y}\) sont indépendantes si et seulement si, pour tout \(\displaystyle{i}\) compris entre \(\displaystyle{1}\) et \(\displaystyle{n}\) et tout \(\displaystyle{j}\) compris entre \(\displaystyle{1}\) et \(\displaystyle{p}\) :
\[P(X = x_{i} \cap Y = y_{j}) = P(X = x_{i}) \times P(Y = y_{j})\]

CLa formule des probabilités totales

Soit un ensemble \(\displaystyle{E}\).
Les événements de probabilités non nulles \(\displaystyle{\{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\}}\) forment un système complet ou une partition de \(\displaystyle{E}\) si et seulement si :

  • \(\displaystyle{\forall i \in [\![ 1 ; k ]\!] \text{ , } E_{i} \in E}\) ;
  • les événements \(\displaystyle{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}}\) sont deux à deux incompatibles ;
  • et leur réunion est égale à l'ensemble \(\displaystyle{E}\).
Soit \(\displaystyle{{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}}}\) un système complet d'événements de l'univers \(\displaystyle{\Omega}\).
D'après la formule des probabilités totales, pour tout événement \(\displaystyle{A}\) de E :
\[ P(A) = P(A \cap E_{1}) + P(A \cap E_{2}) + P(A \cap E_{3}) +... + P(A \cap E_{k}) \]
TS01310-01.PNG

La formule des probabilités totales peut s'illustrer à l'aide d'un arbre pondéré :

TS01310-02.PNG

Dans cet exemple, \(\displaystyle{\{B, \overline{B}\}}\) forme une partition de l'univers de l'expérience.

La formule des probabilités totales permet de calculer \(\displaystyle{P(A)}\) :

\(\displaystyle{P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})}\)

Soit : \(\displaystyle{P(A) = P(B) \times P_{B}(A) + P(\overline{B}) \times P_{\overline{B}}(A)}\)

La formule des probabilités totales revient ainsi à sommer les probabilités de tous les chemins de l'arbre menant à l'événement \(\displaystyle{A}\) :

\(\displaystyle{P(A) = 0,8 \times 0,05 + 0,2 \times 0,5}\)

\(\displaystyle{P(A) = 0,14}\)

IILes lois de probabilité discrètes

ALes variables aléatoires

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.
Soit \(\displaystyle{X}\) une variable aléatoire prenant les valeurs : \(\displaystyle{X(\Omega) = {x_{1}, x_{2},..., x_{n}}}\).
La loi de probabilité de \(\displaystyle{X}\) associe à chaque réel \(\displaystyle{x_{i}}\) la probabilité \(\displaystyle{P(X = x_{i})}\).

On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.

\(\displaystyle{x_{i}}\) \(\displaystyle{x_{1}}\) \(\displaystyle{x_{2}}\) ... \(\displaystyle{x_{n}}\)
\(\displaystyle{P(X = x_{i})}\) \(\displaystyle{P(X = x_{1})}\) \(\displaystyle{P(X = x_{2})}\) ... \(\displaystyle{P(X = x_{n})}\)
\(\displaystyle{P(X = x_{1}) + P(X = x_{2}) +... + P(X = x_{n}) = 1}\)
L'espérance d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) est le réel :
\[E(X) = \sum_{i=0}^{n} x_{i} P(X = x_{i}) \] Soit :
\[E(X) = x_{1} P(X = x_{1}) + x_{2} P(X = x_{2}) +... + x_{n} P(X = x_{n})\]
Pour tous réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) : \(\displaystyle{E(aX + b) = aE(X) + b}\)
La variance d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) est le réel :
\[V(X) = \sum_{i=0}^{n} [x_{i} - E(X)]^{2} P(X = x_{i}) \]
Pour tous réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) : \(\displaystyle{V(aX + b) = a^{2}V(X)}\)
L'écart-type d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) est le réel :
\[σ(X) = \sqrt{ V(X) } \]

BLa loi de Bernoulli

Soit un réel \(\displaystyle{p}\) compris entre \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\).
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :

  • succès, de probabilité \(\displaystyle{p}\)
  • échec, de probabilité \(\displaystyle{1 - p}\).

Soit un réel \(\displaystyle{p}\) compris entre \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\).
Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\displaystyle{p}\) si :

  • \(\displaystyle{X(\Omega) = \{0 ; 1\}}\)
  • \(\displaystyle{P(X = 1) = p}\) et \(\displaystyle{P(X = 0) = 1 - p}\)
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\displaystyle{p}\), on a :
\[E(X) = p\]\[V(X) = p(1 - p)\]

CLa loi binomiale

Soit un réel \(\displaystyle{p}\) compris entre \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\) et \(\displaystyle{n}\) un entier naturel non nul.
Le nombre de succès dans la répétition de \(\displaystyle{n}\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes suit la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\).

Une variable aléatoire suit ainsi la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\), notée \(\displaystyle{B(n ; p)}\), si :

  • \(\displaystyle{X(\Omega) = [\![0 ; n]\!]}\)
  • \(\displaystyle{\forall k \in [\![0 ; n]\!] \text{ , } P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n-k}}\)

Le coefficient \(\displaystyle{\binom{n}{k}}\) est égal au nombre de possibilités de placer les \(\displaystyle{k}\) succès parmi les \(\displaystyle{n}\) répétitions.

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\), on a :
\[E(X) = np\]\[V(X) = np(1 - p)\]
 

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