Fonction logarithme népérien

 

ILes propriétés caractéristiques du logarithme népérien

ALa caractérisation

La fonction logarithme népérien, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) et notée \(\displaystyle{\ln}\), est la bijection réciproque de la fonction exponentielle :
\[\forall x \gt 0 \text{ , } \ln(x) = y \Leftrightarrow x = e^{y}\]
  • Pour tous réels strictement positifs \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) : \(\displaystyle{\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)}\)
  • Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) : \(\displaystyle{\ln(e^{x}) = x}\)
  • Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) strictement positif : \(\displaystyle{e^{\ln(x)} = x}\)
  • \(\displaystyle{\ln(1) = 0}\)

BLe signe

TS01304-01.PNG

CLes propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\), et tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) :

  • \(\displaystyle{\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)}\)

  • \(\displaystyle{\ln \left( \frac{1}{x} \right) = - \ln(x)}\)
  • \(\displaystyle{\ln \left( \frac{x}{y} \right) = \ln(x) - \ln(y)}\)
  • \(\displaystyle{\ln(x^{n}) = n \ln(x)}\)
  • \(\displaystyle{\ln( \sqrt{ x } ) = \frac{1}{2} \ln(x)}\)

IIEtude du logarithme népérien

ALes limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :
\[\lim_{x \to 0} \ln(x) = - \infty\]\[\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = + \infty\]
D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel non nul \(\displaystyle{n}\) :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0\]\[\lim_{x \to 0^{+}} x^n \ln(x) = 0\]
Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en \(\displaystyle{1}\) étant égal à \(\displaystyle{1}\) :
\[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1\]

BLa dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\).
Pour tout réel \(\displaystyle{x}\) strictement positif :
\[\ln'(x) = \frac{1}{x} \]
Soit \(\displaystyle{u}\) une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).
La composée \(\displaystyle{\ln(u)}\) est alors dérivable sur \(\displaystyle{I}\), et pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :
\[(\ln(u))'(x) = \frac{u’(x)}{u(x)} \]

CLe sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\).

TS01304-02.PNG

La droite d’équation \(\displaystyle{y = x - 1}\) est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse \(\displaystyle{1}\) :

TS01304-03.PNG

De plus, les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant réciproques, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(\displaystyle{y = x}\) :

TS01304-04.PNG

DLe logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée \(\displaystyle{\log}\), est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) par :
\[\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \]
  • \(\displaystyle{\log(10) = 1}\)
  • \(\displaystyle{\log(10^n) = n}\), pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\)

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