Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2017

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins \(80\) avec \(1\) litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction


Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 2 - 3\ln x}{x}.\]La représentation graphique de la fonction \(f\) est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d'unité \(2\) cm en abscisses et \(1\) cm en ordonnées.

  1. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x.\]
    1. Calculer \(\varphi(1)\) et la limite de \(\varphi\) en \(0\).
    2. Étudier les variations de \(\varphi\) sur \(]0~;~+ \infty[\). En déduire le signe de \(\varphi(x)\) selon les valeurs de \(x\).
    1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
    2. Montrer que sur \(]0~;~+ \infty[\) : \(f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x^2}\). En déduire le tableau de variation de \(f\).
    3. Prouver que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0~;~1]\). Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près. On admettra que l'équation \(f(x) = 0\) a également une unique solution \(\beta\) sur \([1~;~+ \infty[\) avec \(\beta \approx 3,61\) à \(10^{-2}\) près.
    4. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0~;~+ \infty[\) par : \[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 2\ln x - \dfrac{3}{2}(\ln x)^2.\]Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0~;~+ \infty[\).

 

Partie B : résolution du problème


Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à \(10^{-2}\) près de \(\alpha\) et \(\beta\) de la partie .
Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) restreinte à l'intervalle \([\alpha~;~\beta]\) ainsi que son symétrique \(C'\) par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes \(C\) et \(C'\) délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de \(0,5\) cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

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