Baccalauréat S Métropole 21 juin 2017

 

 

Exercice 1 7 points


Commun à tous les candidats

Partie A


On considère la fonction \(h\) définie sur l’intervalle \([0; +\infty[\) par : \(h(x) = x\text{e}^{-x}\).

  1. Déterminer la limite de la fonction \(h\) en \(+\infty\).
  2. Étudier les variations de la fonction \(h\) sur l’intervalle \([0; +\infty[\) et dresser son tableau de variations.
  3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction \(h\).
    1. Vérifier que pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0; +\infty[\) on a : \(h(x) = \text{e}^{-x} — h(x)\) où \(h’\) désigne la fonction dérivée de \(h\).
    2. Déterminer une primitive sur l’intervalle \([0; +\infty[\) de la fonction \(x\mapsto \text{e}^{-x}\).
    3. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction \(h\) sur l’intervalle \([0; +\infty[\)

Partie B

On définit les fonctions \(f\) et \(g\) sur l’intervalle \([0; +\infty[\) par :

\(h(x) = x \text{e}^{-x} + \ln(x + 1)\) et \(g(x)=\ln(x + 1).\)

On note \(C_f\) et \(C_g\) les représentations graphiques respectives des fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé. Ces deux courbes sont tracées en annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie.

  1. Pour un nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0; +\infty[\), on appelle \(M\) le point de coordonnées \((x; f(x))\) et \(N\) le point de coordonnées \((x; g(x))\) : \(M\) et \(N\) sont donc les points d’abscisse \(x\) appartenant respectivement aux courbes \(C_f\) et \(C_g\).
    1. Déterminer la valeur de \(x\) pour laquelle la distance \(MN\) est maximale et donner cette distance maximale.
    2. Placer sur le graphique fourni en annexe les points \(M\) et \(N\) correspondant à la valeur maximale de \(MN\).
  2. Soit \(\lambda\) un réel appartenant à l’intervalle \([0; +\infty[\). On note \(D_{\lambda}\) le domaine du plan délimité par les courbes Cf et Cg et par les droites d’équations \(x = 0 \) et \(x = \lambda\).
    1. Hachurer le domaine correspondant à la valeur \(\lambda\) proposée sur le graphique en annexe.
    2. On note \(A_{\lambda}\) l’aire du domaine \(D_{\lambda}\), exprimée en unités d’aire. Démontrer que : \(A_{\lambda}= 1-\dfrac{\lambda +1}{\text{e}^{\lambda}}\)
    3. Calculer la limite de \(A_{\lambda}\) lorsque A tend vers \(+\infty\) et interpréter le résultat.
  3. On considère l’algorithme suivant : \[ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables } & \\ & \lambda \text{ est un réel positif }\\ & S \text{ est un réel strictement positif compris entre 0 et 1. }\\ \text{ Initialisation :}&\\ & \text{ Saisir } S\\ &\lambda \text{ prend la valeur } 0\\ \text{ Traitement :}& \\ &\text{ Tant que }1-\dfrac{\lambda +1}{\text{e}^{\lambda}}< S \text{ faire }\\ &\hspace{0,5cm} \lambda \text{ prend la valeur }\lambda + 1\\ &\text{ Fin Tant que } \\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } \lambda \\\hline \end{array}\]
    1. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur \(S = 0,8\) ?
    2. Quel est le rôle de cet algorithme ?

Annexe à rendre avec la copie :

Ex1Metropole 2017

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