Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016

Exercice 3 è points


Fonctions

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=x\text{e}^ {1-x^2}\).

  1. Calculer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
    Indication: on pourra utiliser que pour tout réel \(x\) différent de \(0\), \(f(x)=\frac{\text{e}}{x}\times\frac{x^2}{\text{e}^ {x^2}}\).
    On admettra que la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\) est égale à 0.
    1. On admet que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et on note \(f'\) sa dérivée.
      Démontrer que pour tout réel \(x\), \[ f'(x)=\left(1-2x^2\right)\text{e}^ {1-x^2}. \]
    2. En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\).
Partie B

On considère la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x\) par \(g(x)=\text{e}^ {1-x}\).
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) respectivement des fonctions \(f\) et \(g\).

Le but de cette partie est d'étudier la position relative de ces deux courbes.

  1. Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre ?
  2. Justifier que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(]-\infty~;~0]\), \(f(x)<g(x)\).
  3. Dans cette question, on se place dans l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
    On pose, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\Phi(x)=\ln x-x^2+x\).
    1. Montrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \[ f(x)\leqslant g(x)\text{ équivaut à }\Phi(x)\leqslant 0. \]On admet pour la suite que \(f(x)=g(x)\) équivaut à \(\Phi(x)=0\).
    2. On admet que la fonction \(\Phi\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\). Dresser le tableau de variation de la fonction \(\Phi\). (Les limites en \(0\) et \(+\infty\) ne sont pas attendues.)
    3. En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\Phi(x)\leqslant 0\).
    1. La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide ?
    2. Montrer que \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) ont un unique point commun, noté \(A\).
    3. Montrer qu'en ce point \(A\), ces deux courbes ont la même tangente.
Partie C
  1. Trouver une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R\).
  2. En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^1\left(\text{e}^ {1-x}-x\text{e}^ {1-x^2}\right)\text{d}x\).
  3. Interpréter graphiquement ce résultat.

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