BAC S 2016 de Mathématiques : Polynésie 10 juin 2016

 

Exercice 1 7 points


Commun à tous les candidats

 

Partie A

Voici deux courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) qui donnent pour deux personnes \(P_1\) et \(P_2\) de corpulences différentes la concentration \(C\) d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps \(t\) après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant \(t = 0\) correspond au moment où les deux individus ingèrent l'alcool. \(C\) est exprimée en gramme par litre et \(t\) en heure.
Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

  1. La fonction \(C\) est définie sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) et on note \(C'\) sa fonction dérivée. À un instant \(t\) positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée par \(C'(t)\). À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
    On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.
  2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
  3. Une personne à jeûn absorbe de l'alcool. On admet que la concentration \(C\) d'alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par \[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]où \(A\) est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool absorbée.
    1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\). Déterminer \(f'(0)\).
    2. L'affirmation suivante est-elle vraie ? « À quantité d'alcool absorbée égale, plus \(A\) est grand, plus la personne est corpulente. »

 

Partie B - Un cas particulier


Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration \(C\) d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps \(t\), exprimé en heure, par la fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par \[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\]

  1. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).
  2. À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur? Arrondir à \(10^{-2}\) près.
  3. Rappeler la limite de \(\dfrac{\text{e}^t}{t}\) lorsque \(t\) tend vers \(+ \infty\) et en déduire celle de \(f(t)\) en \(+ \infty\). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de \(0,2\) g.L\(^{-1}\) pour un jeune conducteur.
    1. Démontrer qu'il existe deux nombres réels \(t_1\) et \(t_2\) tels que \(f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2\).
    2. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ? Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
  5. La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à \(5 \times 10^{-3}\) g.L\(^{-1}\).
    1. Justifier qu'il existe un instant \(T\) à partir duquel la concentration d'alcool dans le sang n'est plus détectable.
    2. On donne l'algorithme suivant où \(f\) est la fonction définie par \(f(t) = 2 t\text{e}^{-t}\). \[ \begin{array}{|l |l|}\hline \text{Initialisation} : & t \text{ prend la valeur } 3,5 \\ & p \text{ prend la valeur} 0,25 \\ & C \text{ prend la valeur } 0,21 \\ \text{Traitement} : & \text{Tant que } C > 5 \times 10^{-3} \text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l} t \text{ prend la valeur } t + p \\ C \text{ prend la valeur } f(t) \end{array}\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}: &\text{ Afficher } t \\ \hline \end{array}\]Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme. Arrondir les valeurs à \(10^{-2}\) près. \[\begin{array}{|c| c|c|c|}\hline &\text{Initialisation }&\text{Étape 1}& \text{Étape 2}\\ \hline p &0,25 & &\\ \hline t &3,5 & &\\ \hline C &0,21 & &\\ \hline \end{array} \]Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?

 


Correction de l'exercice 1 (7 points)


Commun à tous les candidats

 

Partie A

Voici deux courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) qui donnent pour deux personnes \(P_1\) et \(P_2\) de corpulences différentes la concentration \(C\) d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps \(t\) après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant \(t = 0\) correspond au moment où les deux individus ingèrent l'alcool. \(C\) est exprimée en gramme par litre et \(t\) en heure.
Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

  1. La fonction \(C\) est définie sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) et on note \(C'\) sa fonction dérivée. À un instant \(t\) positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée par \(C'(t)\). À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
    On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.
  2. La vitesse est maximale quand le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe \(C\) est le plus grand. C’est donc pour \(t=0\) que cette vitesse est maximale.
    \(\quad\)
  3. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
  4. Plus la personne est corpulente moins, à quantité d’alcool ingérée égale, la concentration d’alcool dans le sang est importante. La courbe \(\mathcal{C}_2\) correspond donc à la personne la plus corpulente.
    \(\quad\)
  5. Une personne à jeûn absorbe de l'alcool. On admet que la concentration \(C\) d'alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par \[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]où \(A\) est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool absorbée.
    1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\). Déterminer \(f'(0)\).
    2. \(f\) est dérivable sur \([0;+\infty[\) en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
      \(f'(t)=A\text{e}^{-t}-At\text{e}^{-t}\)
      Donc \(f'(0)=A\)
    3. L'affirmation suivante est-elle vraie ? « À quantité d'alcool absorbée égale, plus \(A\) est grand, plus la personne est corpulente. »
    4. Si on appelle \(f_1\) et \(f_2\) les fonctions associées aux graphiques \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\), on constate que \(f’_1(0)>f’_2(0)\).
      Donc \(A_1>A_2\) (où \(A_i\) est la constante liée à la fonction \(f_i\)).
      Puisque la courbe \(\mathcal{C}_2\) correspond à la personne ayant la forte corpulence, l’affirmation est fausse.
      \(\quad\)

 

Partie B - Un cas particulier


Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration \(C\) d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps \(t\), exprimé en heure, par la fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par \[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\]

  1. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).
  2. D’après la question A.3. on a :
    \(f'(t)=2\text{e}^{-t}-2t\text{e}^{-t}=2\text{e}^{-t}(1-t)\).
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de \(f'(t)\) ne dépend donc que de \((1-t)\).
    Or \(1-t>0 \iff t<1\).
    Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0;1]\) et strictement décroissante sur \([1;+\infty[\).
    \(\quad\)
  3. À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur? Arrondir à \(10^{-2}\) près.
  4. La concentration d’alcool dans le sang est donc maximale quand \(t=1\).
    Et \(f(1)=2\text{e}^{-1}\approx 0,74\) g.L\(^{-1}\).
    \(\quad\)
  5. Rappeler la limite de \(\dfrac{\text{e}^t}{t}\) lorsque \(t\) tend vers \(+ \infty\) et en déduire celle de \(f(t)\) en \(+ \infty\). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  6. On a \(\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\text{e}^t}{t}=+\infty\).
    Or \(f(t)=2\dfrac{t}{\text{e}^t}=2\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^t}{t}}\).
    Donc \(\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0\).
    Cela signifie qu’au bout d’un très grand nombre d’heures la concentration d’alcool dans le sang est nulle et donc que l’alcool a disparu de l’organisme.
    \(\quad\)
  7. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de \(0,2\) g.L\(^{-1}\) pour un jeune conducteur.
    1. Démontrer qu'il existe deux nombres réels \(t_1\) et \(t_2\) tels que \(f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2\).
    2. La fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \([0;1]\).
      \(f(0)=0<0,2\) et \(f(1) \approx 0,74>0,2\)
      D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation \(f(t)=0,2\) possède une unique solution \(t_1\) sur \([0;1]\).
      \(\quad\)
      On procède de même sur \([1;+\infty[\).
      La fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \([1;+\infty[\).
      \(f(1) \approx 0,74>0,2\) et \(\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0<0,2\)
      D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation \(f(t)=0,2\) possède une unique solution \(t_2\) sur \([1;+\infty[\).
      \(\quad\)
      Il existe donc deux réels \(t_1\) et \(t_2\) tels que \(f(t)=0,2\).
      \(\quad\)
    3. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ? Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
    4. Sur \(\left[t_1;t_2\right]\) \(f(t)>0,2\) car \(f\) est croissante sur \(\left[t_1;1\right]\).
      Donc Paul ne pourra prendre le volant qu’après \(t_2\).
      On obtient à l’aide de la calculatrice \(t_2\approx 3,577\)
      Il faut donc que Paul attendent \(3\) heures et \(35\) minutes avant de pouvoir reprendre le volant.
      \(\quad\)
  8. La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à \(5 \times 10^{-3}\) g.L\(^{-1}\).
    1. Justifier qu'il existe un instant \(T\) à partir duquel la concentration d'alcool dans le sang n'est plus détectable.
    2. Puisque \(\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0\), pour tout réel \(\lambda>0\), il existe un temps \(T>0\) tel que, pour tout \(t>T\) on a \(f(t)<\lambda\).
      C’est en particulier vrai pour \(\lambda =5\times 10^{-3}\) g.L\(^{-1}\).
      Il existe donc un instant \(T\) à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.
      \(\quad\)
    3. On donne l'algorithme suivant où \(f\) est la fonction définie par \(f(t) = 2 t\text{e}^{-t}\). \[ \begin{array}{|l |l|}\hline \text{Initialisation} : & t \text{ prend la valeur } 3,5 \\ & p \text{ prend la valeur} 0,25 \\ & C \text{ prend la valeur } 0,21 \\ \text{Traitement} : & \text{Tant que } C > 5 \times 10^{-3} \text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l} t \text{ prend la valeur } t + p \\ C \text{ prend la valeur } f(t) \end{array}\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}: &\text{ Afficher } t \\ \hline \end{array}\]Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme. Arrondir les valeurs à \(10^{-2}\) près. \[\begin{array}{|c| c|c|c|}\hline &\text{Initialisation }&\text{Étape 1}& \text{Étape 2}\\ \hline p &0,25 & &\\ \hline t &3,5 & &\\ \hline C &0,21 & &\\ \hline \end{array} \]Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
    4. \(\quad\)
      \[\begin{array}{|c|c|c|c|}
      \hline
      &\text{Initialisation}&\text{Etape }1&\text{Etape }2\\
      \hline
      p&0,25&0,25&0,25 \\
      \hline
      t&3,5&3,75&4 \\
      \hline
      C&0,21&0,18&0,15\\
      \hline
      \end{array}\]
      L’algorithme affiche le temps, après l’ingestion d’alcool, à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable (au quart d’heure près).
      \(\quad\)

 


Exercice 2 3 points


Commun à tous les candidats


Soit \(u\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), par \[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]On considère également la suite \(v\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 6.\]

  1. Voici un extrait de feuille de tableur : \[\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 & n & u & v \\ \hline 2 &0 &2 &7\\ \hline 3 &1 &4 &14\\ \hline 4 &2 &9 &28\\ \hline 5 &3 &24 &56\\ \hline 6 &4 &63 &\\ \hline 7 & & &\\ \hline 8 & & &\\ \hline 9 & & &\\ \hline 10 & & &\\ \hline \end{array} \]Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites \(u\) et \(v\) ?
  2. Déterminer, en justifiant, une expression de \(v_n\) et de \(u_n\) en fonction de \(n\) uniquement.

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


Soit \(u\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), par \[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]On considère également la suite \(v\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 6.\]

  1. Voici un extrait de feuille de tableur : \[\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 & n & u & v \\ \hline 2 &0 &2 &7\\ \hline 3 &1 &4 &14\\ \hline 4 &2 &9 &28\\ \hline 5 &3 &24 &56\\ \hline 6 &4 &63 &\\ \hline 7 & & &\\ \hline 8 & & &\\ \hline 9 & & &\\ \hline 10 & & &\\ \hline \end{array} \]Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites \(u\) et \(v\) ?
  2. En \(C2\) on a écrit \(=B2+2*A2^2+3*A2+5\)
    En \(B3\) on a écrit \(=2*B2+2*A2^2-A2\)
    \(\quad\)
  3. Déterminer, en justifiant, une expression de \(v_n\) et de \(u_n\) en fonction de \(n\) uniquement.
  4. Il semblerait d’après le tableau de valeur que \(v_n=7\times 2^n\) pour tout entier naturel \(n\) et donc que \(u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5\).
    Montrons cela par récurrence.
    Initialisation : Si \(n=0\)
    \(u_0=2\) et \(v_0=7\)
    \(7\times 2^0=7\times 1 = 7=v_0\checkmark\)
    \(7-5=2=u_0 \checkmark\)
    \(\quad\)
    Hérédite : On suppose la propriété vraie au rang \(n\) : \(u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5\) et \(v_n=7\times 2^n\)
    \(\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n+2n^2-n \\
    &=2\left(7\times 2^n-2n^2-3n-5\right) + 2n^2-n \\
    &=7\times 2^{n+1}-4n^2-6n-10+2n^2-n\\
    &=7\times 2^{n+1}-2n^2-7n-10
    \end{align*}\)
    Or
    \(\begin{align*} -2(n+1)^2-3(n+1)-5&=-2\left(n^2+2n+1\right)-3n-3-5 \\
    &=-2n^2-4n-2-3n-8\\
    &=-2n^2-7n-10
    \end{align*}\)
    Donc \(u_{n+1}=7\times 2^{n+1}-2(n+1)^2-3(n+1)-5\)
    \(\quad\)
    \(v_{n+1}=u_{n+1}+2(n+1)^2+3(n+1)+5=7\times 2^{n+1}\)
    La propriété est donc héréditaire (pour les suites \(u\) et \(v\)).
    \(\quad\)
    Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel \(n\), on a :
    \(u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5\) et \(v_n=7\times 2^n\)
    \(\quad\)

Exercice 3 5 points


Probabilités

 

Partie A


Un astronome responsable d'un club d'astronomie a observé le ciel un soir d'août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d'attente entre deux apparitions d'étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d'attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire \(T\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). En exploitant les données obtenues, il a établi que \(\lambda = 0,2\). Il prévoit d'emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d'août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu'il sera dans des conditions d'observation analogues à celles d'août 2015. L'astronome veut s'assurer que le groupe ne s'ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

  1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu'il attende moins de \(3\) minutes pour voir l'étoile filante suivante est environ \(0,451\).
  2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à \(0,95\) ? Arrondir ce temps à la minute près.
  3. L'astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d'observations d'étoiles filantes lors de cette sortie.

 

Partie B


Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

  • 64% des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;
  • 27% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;
  • 65% des nouveaux adhérents n'ont pas de télescope personnel.

 

  1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est \(0,494\).
  2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à \(10^{-3}\) près.

 

Partie C


Pour des raisons pratiques, l'astronome responsable du club souhaiterait installer un site d'observation sur les hauteurs d'une petite ville de   2500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l'éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l'éclairage nocturne pendant les nuits d'observation, l'astronome réalise un sondage aléatoire auprès de \(100\)~habitants et obtient \(54\) avis favorables à la coupure de l'éclairage nocturne. L' astronome fait l'hypothèse que \(50\)% de la population du village est favorable à la coupure de l'éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l'amène-t-il à changer d'avis ?


Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Probabilités

 

Partie A


Un astronome responsable d'un club d'astronomie a observé le ciel un soir d'août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d'attente entre deux apparitions d'étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d'attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire \(T\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). En exploitant les données obtenues, il a établi que \(\lambda = 0,2\). Il prévoit d'emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d'août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu'il sera dans des conditions d'observation analogues à celles d'août 2015. L'astronome veut s'assurer que le groupe ne s'ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

  1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu'il attende moins de \(3\) minutes pour voir l'étoile filante suivante est environ \(0,451\).
  2. \(P(T\leqslant 3) = 1-\text{e}^{-3\lambda} \approx 0,451\)
    \(\quad\)
  3. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à \(0,95\) ? Arrondir ce temps à la minute près.
  4. On cherche le plus petit entier naturel \(t\) tel que :
    \(\begin{align*} P(T\leqslant t) > 0,95 &\iff 1-\text{e}^{-0,2t}>0,95 \\
    &\iff -\text{e}^{-0,2t}>-0,05 \\
    &\iff \text{e}^{-0,2t}<0,05 \\
    &\iff -0,2t<\ln 0,05 \\
    &\iff t> \dfrac{\ln 0,05}{-0,2} \\
    &\iff t\geqslant 15
    \end{align*}\)
    Il faut donc que le groupe attente au minimum \(15\) minutes pour après la première étoile filante pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à \(0,95\).
    \(\quad\)
  5. L'astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d'observations d'étoiles filantes lors de cette sortie.
  6. Le temps moyen d’attente entre deux étoiles filantes est \(E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=5\) minutes.
    Il peut espérer voir en moyenne \(\dfrac{2\times 60}{5}=24\) étoiles filantes lors de cette sortie.
    \(\quad\)

 

Partie B


Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

  • 64% des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;
  • 27% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;
  • 65% des nouveaux adhérents n'ont pas de télescope personnel.

 

  1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est \(0,494\).
  2. On sait que 27% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel donc \(p(A\cap T)=0,27 \)
    D’après la formule des probabilités totales, on a :
    \begin{align*} p(T)&=p(N\cap T)+p(A\cap T) \ &=0,64 \times 0,35+0,27 \\ &=0,494 \end{align*}
  3. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à \(10^{-3}\) près.
  4. On veut calculer :
    \(p_T(N)=\dfrac{p(T\cap N)}{p(T)} =\dfrac{0,64\times 0,35}{0,494}\approx 0,453\)
    \(\quad\)

 

Partie C

 

Pour des raisons pratiques, l'astronome responsable du club souhaiterait installer un site d'observation sur les hauteurs d'une petite ville de   2500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l'éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l'éclairage nocturne pendant les nuits d'observation, l'astronome réalise un sondage aléatoire auprès de \(100\) habitants et obtient \(54\) avis favorables à la coupure de l'éclairage nocturne. L' astronome fait l'hypothèse que \(50\)% de la population du village est favorable à la coupure de l'éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l'amène-t-il à changer d'avis ?

La proportion \(p\) est égale à  \(0,5\). La taille  \(n\)  de l'échantillon considéré est égale à  \(100.\)
Comme  \( n =100\) ,   \(n \times p  \)=50  et \(n\times (1-p)=50,\) les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : \[n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5\]


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  \(95\% \)  est : \[I_{100} = \left[0,5 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{100}}~;~0,5 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{100}} \right]\] 

\[I_{100} =[0,402;0,598]\]La fréquence observée est \(f=\dfrac{54}{100}=0,54\in I_{100}\)
Le résultat de ce sondage ne le fera donc pas changer d’avis.
\(\quad\)


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Proposition 1 :
    Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, les points A, B et C d'affixes respectives \(z_{\text{A}} = \sqrt{2} + 3\text{i},\: z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\) et \(z_{\text{C}} = - 4\text{i}\) ne sont pas alignés.
  2. Proposition 2 :
    Il n'existe pas d'entier naturel \(n\) non nul tel que \(\left[\text{i}(1 + \text{i})\right]^{2n}\) soit un réel strictement positif.
  3. ABCDEFGH est un cube de côté 1. Le point L est tel que \(\vec{\text{EL}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{EF}}\)
     
    Proposition 3
    La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.
    Proposition 4
    Le triangle DBL est rectangle en B.
  4. On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle [2 ; 5] et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :
    Proposition 5 :
    L'intégrale \(\displaystyle\int_2^5 f(x)\:\text{d}x\) est comprise entre \(1,5\) et \(6\).

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Proposition 1 :
    Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, les points A, B et C d'affixes respectives \(z_{\text{A}} = \sqrt{2} + 3\text{i},\: z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\) et \(z_{\text{C}} = - 4\text{i}\) ne sont pas alignés.
    Proposition 1 : vraie
    L’affixe du vecteur \(\vec{AB}\) est \(z_1=z_B-z_A=1+\text{i}-\sqrt{2}-3\text{i} = 1-\sqrt{2}-2\text{i}\)
    L’affixe du vecteur \(\vec{AC}\) est \(z_2=z_C-z_A=-4\text{i}-\sqrt{2}-3\text{i} = -\sqrt{2}-7\text{i}\).
    \(\dfrac{1-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} \approx 0,293\)
    \(\dfrac{-2}{-7}\approx 0,286\)
    Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.
    Remarque : On pouvait également utiliser l’argument de \(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\).
    \(\quad\)
  2. Proposition 2 :
    Il n'existe pas d'entier naturel \(n\) non nul tel que \(\left[\text{i}(1 + \text{i})\right]^{2n}\) soit un réel strictement positif.
    Proposition 2 : fausse
    \(\text{i}(1+\text{i})=-1+\text{i}\)
    \(|-1+\text{i}|=\sqrt{2}\)
    Donc \(-1+\text{i}=\sqrt{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\text{i}}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\text{e}^{3\text{i}\pi/4}\)
    Donc \(\left[\text{i}(1+\text{i})\right]^{2n}=\sqrt{2}^{2n}\text{e}^{3n\text{i}\pi/2}\)
    Donc si \(\dfrac{3n}{2}\) est un entier pair la proposition sera fausse.
    Il suffit de prendre \(n=4\) car \(\dfrac{3\times 4}{2}=6\).
    On vérifie \(\left[\text{i}(1+\text{i})\right]^{2\times 4}=16\).
    \(\quad\)
  3. ABCDEFGH est un cube de côté 1. Le point L est tel que \(\vec{\text{EL}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{EF}}\)
     
    Proposition 3
    La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.
    Proposition 3 : fausse
    • Méthode 1 :
      Les plans \((EFG)\) et \((ABC)\) sont parallèles.
      Donc les intersections de ces plans avec le plan \((BDL)\) sont parallèles.
      Il existe donc un point \(M\) appartenant à \([EH]\) tel que \((LM)\) et \((BD)\) soient parallèles.
      L’intersection du cube par le plan \((BDL)\) contient donc au moins quatre points : \(B\), \(D\), \(M\) et \(L\).
      \(\quad\)
    • Méthode 2 : on trace la section !
    Proposition 4
    Le triangle DBL est rectangle en B.
    Proposition 4 : fausse
    On se place dans le repère \(\left(B;\vec{BC},\vec{BA},\vec{BF}\right)\).
    On a ainsi \(B(0;0;0)\), \(D(1;1;0)\) et \(L\left(0;\dfrac{2}{3};1\right)\).
    Par conséquent \(\vec{BD}(1;1;0)\) et \(\vec{BL}\left(0;\dfrac{2}{3};1\right)\).
    Donc \(\vec{BD}.\vec{BL}=0+\dfrac{2}{3}+0=\dfrac{2}{3}\neq 0\).
    Le triangle \(DBL\) n’est donc pas rectangle en \(B\).
  4. On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle [2 ; 5] et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :
    Proposition 5 :
    L'intégrale \(\displaystyle\int_2^5 f(x)\:\text{d}x\) est comprise entre \(1,5\) et \(6\).
    Proposition 5 : fausse
    On va proposer un contre-exemple qui possède une aire très proche de \(1\).
    On définit la fonction \(f\) par morceau comme la fonction dont la représentation graphique est constitué des segments \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DE]\), \([EF]\) et \([FG]\)
    Avec \(A(2;3)\), \(B(2,000001;0,000001)\), \(C(3;0)\), \(D(3,99999;0,000001)\), \(E(4;1)\), \(F(4,99999;1,000001)\) et \(G(5;2)\).
    \(\displaystyle \int_2^5 f(x)\mathrm{d}x\) correspond à l’aire comprise entre la courbe représentant \(f\), l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x=2\) et \( x=5\).
    Dans l’exemple choisi, cela correspond à la somme de six triangles et de quatre carrés :
    – un triangle rectangle de côté : \(2,999999\times 0,000001\)
    – cinq triangles rectangles isocèles de côté \(0,000001\)
    – trois carrés de côté \(0,000001\)
    – un carré de côté \(1\)
    L’aire est alors d’environ \(1,0000015 <1,5\)
    Remarque : On pouvait évidemment utiliser d’autres valeurs plus agréables à manipuler; le but était d’avoir une situation « limite » de ce genre :

 


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Proposition 1
    Pour tout entier naturel \(n\), le chiffre des unités de \(n^2 + n\) n'est jamais égal à 4.
  2. On considère la suite \(u\) définie, pour \(n \geqslant 1\), par \[u_n = \dfrac{1}{n} \text{pgcd}(20~;~n).\]
    Proposition 2
    La suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
  3. Proposition 3
    Pour toutes matrices \(A\) et \(B\) carrées de dimension 2, on a \(A \times B = B \times A\).
  4. Un mobile peut occuper deux positions \(A\) et \(B\). À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer. Pour tout entier naturel \(n\), on note :
    • \(A_n\) l'évènement « le mobile se trouve dans la position \(A\) à l'étape \(n\) » et \(a_n\) sa probabilité.
    • \(B_n\) l'évènement « le mobile se trouve dans la position \(B\) à l'étape \(n\)» et \(b_n\) sa probabilité.
    • \(X_n\) la matrice colonne \(\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}\).
    On admet que, pour tout entier nature \(n,\: X_{n+1} = M \times X_n\) avec \(M = \begin{pmatrix}0,55&0,3\\ 0,45&0,7\end{pmatrix}\).
    Proposition 4
    La probabilité \(P_{A_n} \left(B_{n+1}\right)\) vaut 0,45.
    Proposition 5
    Il existe un état initial \(X_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}\) tel que la probabilité d'être en \(B\) à l'étape 1 est trois fois plus grande que celle d'être en \(A\) à l'étape 1, autrement dit tel que \(b_1 = 3a_1\).

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Proposition 1
    Pour tout entier naturel \(n\), le chiffre des unités de \(n^2 + n\) n'est jamais égal à 4.
  2. Proposition 1 : vraie
    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{chiffre des unités de }&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
    \hline
    n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    n^2&0&1&4&9&6&5&6&9&4&1\\
    \hline
    n^2+n&0&2&6&2&0&0&2&6&2&0\\
    \hline
    \end{array}\]
    Le chiffre des unités n’est jamais égal à \(4\).
    \(\quad\)
  3. On considère la suite \(u\) définie, pour \(n \geqslant 1\), par \[u_n = \dfrac{1}{n} \text{pgcd}(20~;~n).\]
    Proposition 2
    La suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
  4. Pour tout entier natuel \(n\), \(pgcd(20;n)\leqslant 20\)
    Donc \(0\leqslant u_n\leqslant \dfrac{20}{n}\)
    Or \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{20}{n} = 0\)
    D’après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0\)
    La suite \(\left(u_n\right)\) est donc congergente.
    \(\quad\)
  5. Proposition 3
    Pour toutes matrices \(A\) et \(B\) carrées de dimension 2, on a \(A \times B = B \times A\).
  6. Proposition 3 : fausse
    Prenons \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}\)
    On a alors \(AB=\begin{pmatrix} 2&1\\1&3\end{pmatrix}\)
    Et \(BA=\begin{pmatrix} 3&1\\1&2\end{pmatrix}\)
    Donc \(AB\neq BA\)
    \(\quad\)
  7. Un mobile peut occuper deux positions \(A\) et \(B\). À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer. Pour tout entier naturel \(n\), on note :
    • \(A_n\) l'évènement « le mobile se trouve dans la position \(A\) à l'étape \(n\) » et \(a_n\) sa probabilité.
    • \(B_n\) l'évènement « le mobile se trouve dans la position \(B\) à l'étape \(n\)» et \(b_n\) sa probabilité.
    • \(X_n\) la matrice colonne \(\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}\).
    On admet que, pour tout entier nature \(n,\: X_{n+1} = M \times X_n\) avec \(M = \begin{pmatrix}0,55&0,3\\ 0,45&0,7\end{pmatrix}\).
    Proposition 4
    La probabilité \(P_{A_n} \left(B_{n+1}\right)\) vaut 0,45.
    Proposition 4 : vraie
    On a \(X_{n+1}=MX_n\)
    Soit \(\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,55a_n+0,3b_n \\0,45a_n+0,7b_n\end{pmatrix}\)
    Donc \(P_{A_n}\left(B_{n+1}\right) = 0,45\)
    \(\quad\)
    Proposition 5
    Il existe un état initial \(X_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}\) tel que la probabilité d'être en \(B\) à l'étape 1 est trois fois plus grande que celle d'être en \(A\) à l'étape 1, autrement dit tel que \(b_1 = 3a_1\).
    Proposition 5 :
    \(X_1=MX_0=\begin{pmatrix}0,55a_0+0,3b_0\\0,45a_0+0,7b_0\end{pmatrix}\)
    On veut que \(0,45a_0+0,7b_0=3\times (0,55a_0+0,3b_0)\) avec \(a_0+b_0=1\)
    \(\iff0,45a_0+0,7b_0=1,65a_0+0,9b_0\) avec \(a_0+b_0=1\)
    \(\iff1,2a_0+0,2b_0=0\) avec \(a_0=1-b_0\)
    \(\iff1,2\left(1-b_0\right)+0,2b_0=0\) avec \(a_0=1-b_0\)
    \(\iff1,2=b_0\) avec \(a_0=1-b_0\)
    Comme \(a_0\) doit être un réel positif, on ne peut pas trouver d’état initial tel que la probabilité d’être en \(B\) à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en \(A\) à l’étape 1.
    \(\quad\)

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