BAC S 2016 de Mathématiques : Polynésie 10 juin 2016

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Probabilités

 

Partie A


Un astronome responsable d'un club d'astronomie a observé le ciel un soir d'août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d'attente entre deux apparitions d'étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d'attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire \(T\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). En exploitant les données obtenues, il a établi que \(\lambda = 0,2\). Il prévoit d'emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d'août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu'il sera dans des conditions d'observation analogues à celles d'août 2015. L'astronome veut s'assurer que le groupe ne s'ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

  1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu'il attende moins de \(3\) minutes pour voir l'étoile filante suivante est environ \(0,451\).
  2. \(P(T\leqslant 3) = 1-\text{e}^{-3\lambda} \approx 0,451\)
    \(\quad\)
  3. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à \(0,95\) ? Arrondir ce temps à la minute près.
  4. On cherche le plus petit entier naturel \(t\) tel que :
    \(\begin{align*} P(T\leqslant t) > 0,95 &\iff 1-\text{e}^{-0,2t}>0,95 \\
    &\iff -\text{e}^{-0,2t}>-0,05 \\
    &\iff \text{e}^{-0,2t}<0,05 \\
    &\iff -0,2t<\ln 0,05 \\
    &\iff t> \dfrac{\ln 0,05}{-0,2} \\
    &\iff t\geqslant 15
    \end{align*}\)
    Il faut donc que le groupe attente au minimum \(15\) minutes pour après la première étoile filante pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à \(0,95\).
    \(\quad\)
  5. L'astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d'observations d'étoiles filantes lors de cette sortie.
  6. Le temps moyen d’attente entre deux étoiles filantes est \(E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=5\) minutes.
    Il peut espérer voir en moyenne \(\dfrac{2\times 60}{5}=24\) étoiles filantes lors de cette sortie.
    \(\quad\)

 

Partie B


Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

  • 64% des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;
  • 27% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;
  • 65% des nouveaux adhérents n'ont pas de télescope personnel.

 

  1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est \(0,494\).
  2. On sait que 27% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel donc \(p(A\cap T)=0,27 \)
    D’après la formule des probabilités totales, on a :
    \begin{align*} p(T)&=p(N\cap T)+p(A\cap T) \ &=0,64 \times 0,35+0,27 \\ &=0,494 \end{align*}
  3. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à \(10^{-3}\) près.
  4. On veut calculer :
    \(p_T(N)=\dfrac{p(T\cap N)}{p(T)} =\dfrac{0,64\times 0,35}{0,494}\approx 0,453\)
    \(\quad\)

 

Partie C

 

Pour des raisons pratiques, l'astronome responsable du club souhaiterait installer un site d'observation sur les hauteurs d'une petite ville de   2500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l'éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l'éclairage nocturne pendant les nuits d'observation, l'astronome réalise un sondage aléatoire auprès de \(100\) habitants et obtient \(54\) avis favorables à la coupure de l'éclairage nocturne. L' astronome fait l'hypothèse que \(50\)% de la population du village est favorable à la coupure de l'éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l'amène-t-il à changer d'avis ?

La proportion \(p\) est égale à  \(0,5\). La taille  \(n\)  de l'échantillon considéré est égale à  \(100.\)
Comme  \( n =100\) ,   \(n \times p  \)=50  et \(n\times (1-p)=50,\) les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : \[n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5\]


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  \(95\% \)  est : \[I_{100} = \left[0,5 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{100}}~;~0,5 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{100}} \right]\] 

\[I_{100} =[0,402;0,598]\]La fréquence observée est \(f=\dfrac{54}{100}=0,54\in I_{100}\)
Le résultat de ce sondage ne le fera donc pas changer d’avis.
\(\quad\)

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