BAC S 2016 de Mathématiques : Polynésie 10 juin 2016

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


Soit \(u\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), par \[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]On considère également la suite \(v\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 6.\]

  1. Voici un extrait de feuille de tableur : \[\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 & n & u & v \\ \hline 2 &0 &2 &7\\ \hline 3 &1 &4 &14\\ \hline 4 &2 &9 &28\\ \hline 5 &3 &24 &56\\ \hline 6 &4 &63 &\\ \hline 7 & & &\\ \hline 8 & & &\\ \hline 9 & & &\\ \hline 10 & & &\\ \hline \end{array} \]Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites \(u\) et \(v\) ?
  2. En \(C2\) on a écrit \(=B2+2*A2^2+3*A2+5\)
    En \(B3\) on a écrit \(=2*B2+2*A2^2-A2\)
    \(\quad\)
  3. Déterminer, en justifiant, une expression de \(v_n\) et de \(u_n\) en fonction de \(n\) uniquement.
  4. Il semblerait d’après le tableau de valeur que \(v_n=7\times 2^n\) pour tout entier naturel \(n\) et donc que \(u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5\).
    Montrons cela par récurrence.
    Initialisation : Si \(n=0\)
    \(u_0=2\) et \(v_0=7\)
    \(7\times 2^0=7\times 1 = 7=v_0\checkmark\)
    \(7-5=2=u_0 \checkmark\)
    \(\quad\)
    Hérédite : On suppose la propriété vraie au rang \(n\) : \(u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5\) et \(v_n=7\times 2^n\)
    \(\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n+2n^2-n \\
    &=2\left(7\times 2^n-2n^2-3n-5\right) + 2n^2-n \\
    &=7\times 2^{n+1}-4n^2-6n-10+2n^2-n\\
    &=7\times 2^{n+1}-2n^2-7n-10
    \end{align*}\)
    Or
    \(\begin{align*} -2(n+1)^2-3(n+1)-5&=-2\left(n^2+2n+1\right)-3n-3-5 \\
    &=-2n^2-4n-2-3n-8\\
    &=-2n^2-7n-10
    \end{align*}\)
    Donc \(u_{n+1}=7\times 2^{n+1}-2(n+1)^2-3(n+1)-5\)
    \(\quad\)
    \(v_{n+1}=u_{n+1}+2(n+1)^2+3(n+1)+5=7\times 2^{n+1}\)
    La propriété est donc héréditaire (pour les suites \(u\) et \(v\)).
    \(\quad\)
    Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel \(n\), on a :
    \(u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5\) et \(v_n=7\times 2^n\)
    \(\quad\)

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