Baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016

Correction de l'exercice 3 (3 points)


Commun à tous les candidats


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on appelle \(M_n\) le point d'affixe \(z_n = (1 + \text{i})^n\).

  1. Écrire le nombre \(1 + \text{i}\) sous forme exponentielle.
  2. \(|1+\text{i}|=\sqrt{2}\)
    Donc \(1+\text{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)=\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4}\).
    \(\quad\)En vidéo !
  3. Montrer qu'il existe un entier naturel \(n_0\), que l'on précisera, tel que, pour tout entier \(n \geqslant n_0\), le point \(M_n\) est à l'extérieur du carré ABCD.
  4. La longueur d’une demi diagonale est donc \(4\).
    Si \(OM_n > 4\) alors le point \(M_n\) est à l’extérieur du carré \(ABCD\).
    \(\begin{align*} \left|(1+\text{i})^n\right| > 4 &\iff \sqrt{2}^n > 4 \\\\
    &\iff n\ln \sqrt{2} > \ln 4 \\\\
    &\iff n > \dfrac{\ln 4}{\ln \sqrt{2}} \\\\
    &\iff n > \dfrac{2\ln2}{\dfrac{1}{2}\ln 2} \\\\
    &\iff n > 4
    \end{align*}\)
    Ainsi si \(n>4\) alors le point \(M_n\) est à l’extérieur du carré \(ABCD\). Donc \(n_0=5\) convient.


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