Baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016

Exercice 3 3 points


Commun à tous les candidats


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on appelle \(M_n\) le point d'affixe \(z_n = (1 + \text{i})^n\).

  1. Écrire le nombre \(1 + \text{i}\) sous forme exponentielle.
  2. Montrer qu'il existe un entier naturel \(n_0\), que l'on précisera, tel que, pour tout entier \(n \geqslant n_0\), le point \(M_n\) est à l'extérieur du carré ABCD.

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