Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats

 


Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.

  • 40% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
  • 25% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation « pur jus ».


Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de « pur jus » est notée \(x\), où \(x\) est un réel de l'intervalle [0 ; 1]. Par ailleurs, 20% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation « pur jus ».
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse.
On définit les évènements suivants :
\(R\) : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;
\(J\) : la bouteille prélevée est une bouteille de « pur jus ».

Partie A

 

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Déterminer la valeur exacte de \(x\).
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    \(\begin{align*} \phantom{\Leftrightarrow }p(J) &=p(R \cap J)+p\left(\overline{R} \cap J\right) \\\\
    \Leftrightarrow 0,2&=0,4 \times 0,25 + 0,6x \\\\
    \Leftrightarrow 0,1&=0,6x\\\\
    \Leftrightarrow x&=\dfrac{1}{6}
    \end{align*}\)
    \(\quad\)
  4. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de « pur jus ». Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
  5. On veut calculer :
    \(\begin{align*} p_J(R)&=\dfrac{p(J\cap R)}{p(J)} \\\\
    &=\dfrac{0,4 \times 0,25}{0,2} \\\\
    &=\dfrac{1}{2}
    \end{align*}\)
    \(\quad\)

 

Partie B


Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des \(500\) dernières bouteilles de jus de fruits vendues.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de « pur jus »  dans ce lot.
On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces \(500\) bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.

  1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire \(X\). On en donnera les paramètres.
  2. Il s’agit de \(500\) tirages indépendants, avec remise, aléatoires ne présentant que deux issues : \(J\) et \(\overline{J}\). De plus \(p(J)=0,2\).
    La variable aléatoire \(X\) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=500\) et \(p=0,2\).
    \(\quad\)
  3. Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de \(500\) bouteilles soient de « pur jus ». On arrondira le résultat au millième.
  4. On veut calculer \(P(X\ge 75) = 1-P(X \le 74) \approx 0,998\)
    La probabilité qu’au moins \(75\) bouteilles de cet échantillon soient pur jus est donc d’environ \(99,8\%\).
    \(\quad\)

 

Partie C


Un fournisseur assure que 90% des bouteilles de sa production de pur jus d'orange contiennent moins de 2% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, \(766\) bouteilles présentent moins de 2% de pulpe.

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2% de pulpe au seuil de 95%.
  2. On a \(n=900\) et \(p=0,9\)
    Ainsi \(n = 900 \ge 30 \checkmark\) \(\quad np=810 \ge 5 \checkmark\) \(\quad n(1-p) = 90 \ge 5 \checkmark\).
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \(95\%\) est donc :
    \(\begin{align*} I_{900} &=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9 \times 0,1}{900}};0,9+1,96\sqrt{\dfrac{0,9 \times 0,1}{900}}\right] \\\\
    & =[0,8804;0,9196]
    \end{align*}\)
    \(\quad\)
  3. Que penser de l'affirmation du fournisseur ?
  4. La fréquence observée est \(f=\dfrac{766}{900} \approx 0,851 \notin I_{900}\).
    Par conséquent, au risque de \(5\%\) on peut remettre en question l’affirmation du fournisseur.
    \(\quad\)

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