Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015


Commun à tous les candidats

Correction de l'exercice 2 (3 points)


Commun à tous les candidats


Pour chaque réel \(a\), on considère la fonction \(f_a\) définie sur l'ensemble des nombres réels \(\mathbb R\) par \[f_a(x) = \text{e}^{x - a} - 2x + \text{e}^{a}.\]

  1. Montrer que pour tour réel \(a\), la fonction \(f_a\) possède un minimum.
  2. La fonction \(f_a\) est dérivable sur \(\mathbb R\) en tant que somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb R\).
    Pour tout réel \(x\) on a : \(f'(x)=\text{e}^{x-a}-2\).
    Or \(\text{e}^{x-a}-2 \ge 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x-a}=2 \Leftrightarrow x-a = \ln 2 \Leftrightarrow x=a+\ln 2\).
    La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]-\infty;a+\ln 2]\) et strictement croissante sur \([a+\ln 2;+\infty[\).
    La fonction \(f_a\) possède donc un minimum en \(a+\ln 2\).
    \(\quad\)
  3. Existe-t-il une valeur de \(a\) pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
  4. \(f_a(a+\ln 2)=\text{e}^{\ln 2} – 2(a+\ln 2) + \text{e}^{a }= 2 – 2a – 2\ln 2 +\text{e}^{a }\).
    On appelle \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(g(a) = 2-2a-2\ln 2+\text{e}^a\).
    Cette fonction est dérivable sur \(\mathbb R\) en tant que somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb R\).
    \(g'(a)=-2+\text{e}^{a }\).
    Or \(g'(a) = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{a } = 2 \Leftrightarrow a = \ln 2\).
    \(g'(a) < 0\) si \(a < \ln 2\) et \(g'(a) >0\) si \(a > \ln 2\).
    Ainsi le plus petit minimum est atteint en \(\ln 2\) et vaut \(g(\ln 2) = 2 -4\ln 2 + 2 = 4-4\ln 2\).

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