Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

 

On considère l'algorithme suivant : \[ \begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables }: &k \text{ et } p \text{ sont des entiers naturels }\\ &u \text{ est un réel }\\ \text{ Entrée : }& \text{ Demander la valeur de } p\\ \text{ Traitement :} & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Pour }k \text{ variant de 1 à } p\\ &\hspace{0.6mm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Fin de pour }\\ \text{Sortie:}& \text{ Afficher }u\\ \hline \end{array} \]Faire fonctionner cet algorithme pour \(p = 2\) en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on en sortie ?

\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline k& & 1&2 \\ \hline u&5&1&-0,5\\ \hline \end{array}\)
On obtient donc en sortie \(-0,5\)

Partie B


Soit \(\left(u_n\right)\) la suite définie par son premier terme \(u_0 = 5\) et, pour tout entier naturel \(n\) par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\]

  1. Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de \(u_n\) pour \(n\) variant de 1 à \(p\).
  2. Variables :
    \(\quad\) \(k\) et \(p\) sont des entiers naturels
    \(\quad\) \(u\) est un réel
    Entrée :
    \(\quad\) Demander la valeur de \(p\)
    Traitement :
    \(\quad\) Affecter à \(u\) la valeur \(5\)
    \(\quad\) Pour \(k\) variant de \(1\) à \(p\)
    \(\qquad\) Affecter à \(u\) la valeur \(0,5u + 0,5(k-1) – 1,5\)
    \(\qquad\)Afficher \(u\)
    \(\quad\) Fin de pour
    \(\quad\)
  3. À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi \(p = 4\), on obtient les résultats suivants : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4\\ \hline u_n &1 & - 0,5 & -0,75 & - 0,375\\ \hline \end{array} \]Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante ? Justifier.
  4. On constate que \(u_3<u_4\). La suite \((u_n)\) n’est donc pas décroissante.
  5. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3, \(u_{n+1} > u_n\). Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite \(\left(u_n\right)\) ?
  6. Initialisation : Si \(n= 3\) \( -0,375 >-0,75\) donc \(u_4 > u_3\)
    La propriété est donc vraie au rang \(3\).
    \(\quad\)
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(u_{n+1} > u_n\).
    Alors
    \( 0,5u_{n+1} > 0,5u_n \)
    Donc \(0,5u_{n+1} +0,5(n+1) > 0,5u_n + 0,5(n+1) > 0,5u_n + 0,5n\)
    Par conséquent \(0,5u_{n+1} + 0,5(n+1) – 1,5 > 0,5u_n + 0,5n – 1,5\)
    Finalement \(u_{n+2} > u_{n+1}\)
    La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
    \(\quad\)
    Conclusion :
    La propriété est vraie au rang \(3\) et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel supérieur ou égal à \(3\), \(u_{n+1} > u_n\).
  7. Soit \(\left(v_n\right)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5\). Démontrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison \(0,5\) et exprimer alors \(v_n\) en fonction de \(n\).
  8. \[\begin{array}{rl} v_{n+1} &= 0,1u_{n+1} – 0,1(n+1) + 0,5 \\ &= 0,05u_n + 0,05n – 0,15 – 0,1n – 0,1 + 0,5 \\ &= 0,05u_n – 0,05n +0,25 \\ &= 0,5(0,1u_n – 0,1n + 0,5) \\ &=0,5v_n\end{array}\]
    La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(0,5\) et de premier terme \(v_0 = 0,1 \times 5 + 0,5 = 1\)
    \(\quad\)
    Par conséquent \(v_n = 0,5^n\) pour tout entier naturel \(n\).
    \(\quad\)
  9. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\]
  10. On a \(v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5\), on obtient en multipliant par 10: \[10 v_n = u_n - n + 5\]On a ainsi
    \[\begin{array}{rl} u_n &= 10v_n + n – 5 \\ &=10 \times 0,5^n + n – 5\end{array}\]
  11. Déterminer alors la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
  12. \(\quad\) \(0<0,5<1\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0\)
    De plus \(\lim\limits_{n \to +\infty} n – 5 =+\infty \)
    Donc par somme des limites, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\)

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