Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

Partie A


On considère l'algorithme suivant : \[ \begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables }: &k \text{ et } p \text{ sont des entiers naturels }\\ &u \text{ est un réel }\\ \text{ Entrée : }& \text{ Demander la valeur de } p\\ \text{ Traitement :} & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Pour }k \text{ variant de 1 à } p\\ &\hspace{0.6mm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Fin de pour }\\ \text{Sortie:}& \text{ Afficher }u\\ \hline \end{array} \]Faire fonctionner cet algorithme pour \(p = 2\) en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on en sortie ?

Partie B


Soit \(\left(u_n\right)\) la suite définie par son premier terme \(u_0 = 5\) et, pour tout entier naturel \(n\) par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\]

  1. Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de \(u_n\) pour \(n\) variant de 1 à \(p\).
  2. À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi \(p = 4\), on obtient les résultats suivants : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4\\ \hline u_n &1 & - 0,5 & -0,75 & - 0,375\\ \hline \end{array} \]Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante ? Justifier.
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3, \(u_{n+1} > u_n\). Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite \(\left(u_n\right)\) ?
  4. Soit \(\left(v_n\right)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5\). Démontrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison \(0,5\) et exprimer alors \(v_n\) en fonction de \(n\).
  5. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\]
  6. Déterminer alors la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).

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