Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

Suites


Soit \(a\) un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d'étudier la suite \(\left(u_n\right)\) définie par: \[u_0 = a\quad \text{et, pour tout}\: n\: \text{de}\:\: \mathbb N,\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\]On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : \(u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)\).

  1. Soit \(g\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par : \[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]
      1. Calculer \(g '(x)\) et prouver que, pour tout réel \(x \) : \(g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)\).
      2. La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\) en tant que somme de fonctions dérivable sur \(\mathbb R\).D’une part : \(g'(x) = 2\text{e}^{2x} – \text{e}^x – 1\).
        D’autre part : \[\begin{array}{rl} \left(\text{e}^x – 1\right)\left(2\text{e}^x + 1\right) &= 2\text{e}^{2x} + \text{e}^x – 2\text{e}^x – 1 \\ &= 2\text{e}^{2x} – \text{e}^x – 1\end{array}\]Donc \(g'(x) = \left(\text{e}^x – 1\right)\left(2\text{e}^x + 1\right)\)
      3. Déterminer les variations de la fonction \(g\) et donner la valeur de son minimum.
      4. La fonction exponentielle étant toujours positive, on en déduit que \(2\text{e}^x + 1 > 0\). Le signe de \(g'(x)\) ne dépend donc que de celui de \(\text{e}^x – 1\).
        Or \(\text{e}^x – 1 \ge 0 \iff \text{e}^x \ge 1 \iff x \ge 0\).La fonction \(g\) est donc décroissante sur \(]-\infty;0]\) et croissante sur \([0;+\infty[\). Elle admet un minimum pour \(x=0\) et son minimum est \(g(0) = 0\).
      5. En remarquant que \(u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)\), étudier le sens de variation de la suite \(\left(u_n\right)\).
      6. \[\begin{array}{rl} u_{n+1} – u_n &= e^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} – 1\right) – u_n\\ &= e^{2u_n} – e^{u_n} – u_n \\ &= g\left(u_n\right) \end{array}\]D’après la question précédente, on peut donc dire que, pour tout réel \(x\), on a \(g(x) \ge 0\).Par conséquent \(u_{n+1} – u_n \ge 0\).La suite \((u_n)\) est donc croissante.
      7. Dans cette question, on suppose que \(a \leqslant 0\).
      8. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant 0\).
      9. Initialisation : \(n=0\) alors \(u_0 =a \le 0\)
        La propriété est vraie au rang \(0\).
        Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(u_n \le 0\).
        \(u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} – 1\right)\).
        La fonction exponentielle est toujours positive.
        Puisque \(u_n \le 0\) alors \(e^{u_n} \le 0\). Donc \(\text{e}^{u_n} – 1 \le 0\).
        Par conséquent \(u_{n+1} \le 0\).
        La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
        Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et elle est héréditaire.
        Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) on a : \(u_n \le 0\).
      10. Déduire des questions précédentes que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
      11. La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(0\). Elle est donc convergente.

      1. Dans le cas où \(a\) vaut \(0\), donner la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
      2. Si \(a=0\) alors \(u_0 = 0\).

        La suite \((u_n)\) est croissante, majorée par \(0\) et \(u_0 = 0\). Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 0\).

        La suite \((u_n)\) est donc constante et sa limite est \(0\).

      \(\quad\)
  2. Dans cette question, on suppose que \(a > 0\). La suite \(\left(u_n\right)\) étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant a\).
      1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)\).
      2. D’après la question
    1.c.
        on a \(u_{n+1} – u_n = g\left(u_n\right)\).

        Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \ge a \ge 0\).

        La fonction \(g\) est croissante sur \([0;+\infty[\), par conséquent \(g(u_n) \ge g(a)\).

        Ainsi \(u_{n+1} – u_n \ge g(a)\).

        \(\quad\)

      1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \geqslant a + n \times g(a)\).
    Initialisation :
        Si \(n=0\) alors \(u_0 = a\) et \(a + 0\times g(a) = a\).

        La propriété est donc vraie au rang \(0\).

        \(\quad\)

    Hérédité :
        Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(u_n \ge a + n \times g(a)\).

        \[\begin{array}{rl} u_{n+1} – u_n \ge g(a) & \iff u_{n+1} \ge u_n + g(a) \\ & \iff u_{n+1} \ge a + n \times g(a) + g(a) \\ & \iff u_{n+1} \ge a + (n+1) \times g(a) \end{array}\]

        La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).

        \(\quad\)

    Conclusion :
        La propriété est vraie au rang \(0\) et héréditaire.

        Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n} \ge a + n \times g(a)\).

        \(\quad\)

      1. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
      2. Puisque \(a >0\), on a \(g(a) \ge 0\). Ainsi \(\lim\limits_{n \to +\infty} n \times g(a) = +\infty\).

        Par conséquent \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

      \(\quad\)
  3. Dans cette question, on prend \(a = 0,02\). L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n > M\), où \(M\) désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet. \[ \begin{array}{|r|l|} \hline \text{Variables}& n \text{ est un entier ,} u \text{ et } M \text{sont deux réels }\\ \hline & u \text{ prend la valeur } 0,02 \\ \text{Initialisation}& n \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{ Saisir la valeur de } M \\ \hline \text{ Traitement}& \text{ Tant que } \ldots\\ &\ldots\\ &\ldots\\ &\text{ Fin tant que } \\ \hline \text{Sortie}& \text{ Afficher } n \\ \hline \end{array} \]
      1. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
      2. Tant que \(u \le M\)

        \(\quad\) \(u\) prend la valeur \(\text{e}^u\left(\text{e}^u – 1\right)\)

        \(\quad\) \(n\) prend la valeur \(n+1\)

        Fin Tant que

        \(\quad\)

      1. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si \(M = 60\).
      2. Si \(M=60\) alors l’algorithme  affiche \(36\)

        \(\quad\)

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