Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015

Exercice 3 7 points


Suites


Soit \(a\) un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d'étudier la suite \(\left(u_n\right)\) définie par: \[u_0 = a\quad \text{et, pour tout}\: n\: \text{de}\:\: \mathbb N,\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\]On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : \(u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)\).

  1. Soit \(g\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par : \[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]
    1. Calculer \(g '(x)\) et prouver que, pour tout réel \(x \) : \(g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)\).
    2. Déterminer les variations de la fonction \(g\) et donner la valeur de son minimum.
    3. En remarquant que \(u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)\), étudier le sens de variation de la suite \(\left(u_n\right)\).
  2. Dans cette question, on suppose que \(a \leqslant 0\).
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant 0\).
    2. Déduire des questions précédentes que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
    3. Dans le cas où \(a\) vaut \(0\), donner la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
  3. Dans cette question, on suppose que \(a > 0\). La suite \(\left(u_n\right)\) étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant a\).
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)\).
    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \geqslant a + n \times g(a)\).
    3. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
  4. Dans cette question, on prend \(a = 0,02\). L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n > M\), où \(M\) désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet. \[ \begin{array}{|r|l|} \hline \text{Variables}& n \text{ est un entier ,} u \text{ et } M \text{sont deux réels }\\ \hline & u \text{ prend la valeur } 0,02 \\ \text{Initialisation}& n \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{ Saisir la valeur de } M \\ \hline \text{ Traitement}& \text{ Tant que } \ldots\\ &\ldots\\ &\ldots\\ &\text{ Fin tant que } \\ \hline \text{Sortie}& \text{ Afficher } n \\ \hline \end{array} \]
    1. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si \(M = 60\).

 

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
165
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
7274519