Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015

Exercice 4 6 points


Commun à tous les candidats


Partie A
Soit \(u\) la fonction définie sur \(]0;+ \infty[\) par \[u(x) = \ln(x) + x - 3.\]
  1. Justifier que la fonction \(u\) est strictement croissante sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\).
  2. Démontrer que l'équation \(u(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) comprise entre 2 et 3.
  3. En déduire le signe de \(u(x)\) en fonction de \(x\).

Partie B
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\) par \[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) - 2] + 2.\]On appelle \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.
  1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(0\).
    1. Démontrer que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0;+ \infty[\), \(f’(x) = \dfrac{u(x)}{x^2} \) où \(u\) est la fonction définie dans la partie A.
    2. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\).

Partie C
Soit \(\mathcal{C}’\) la courbe d'équation \(y = \ln (x)\).
  1. Démontrer que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0;+ \infty[\), \(f(x) - \ln(x) = \dfrac{2 - \ln (x)}{x}\). En déduire que les courbes \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}’\) ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
  2. On admet que la fonction \(H\) définie sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\) par \[H(x) = \dfrac{1}{2} [\ln (x)]^2\]est une primitive de la fonction \(h\) définie sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\) par \(h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}\). Calculer \(I = \displaystyle\int_1^{\text{e}^2}\dfrac{2 - \ln x}{x}\:\text{d}x\). Interpréter graphiquement ce résultat.

 

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
167
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
7403710