Baccalauréat S Polynésie 13 juin 2014

Exercice 1  5 points


Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad \text{et D}(6~;~6~;~-1).\]

  1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
    1. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (BCD).
    2. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\) orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.
  3. Déterminer les coordonnées du point \(H\), intersection de la droite \(\mathcal{D}\) et du plan \((BCD)\).
  4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite \(\mathcal{D}\) et du plan (BCD).
  5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
  6. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h\), où \(\mathcal{B}\) est l'aire d'une base du tétraèdre et \(h\) la hauteur correspondante.
  7. On admet que AB = \(\sqrt{76}\) et AC \(= \sqrt{61}\). Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\).

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