Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = x \text{e}^{1-x}.\]

1. Vérifier que pour tout réel \(x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}\).
2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(- \infty\).
3. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\). Interpréter graphiquement cette limite.
4. Déterminer la dérivée de la fonction \(f\).
5. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) puis dresser le tableau de variation.

Partie B
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on considère les fonctions \(g_{n}\) et \(h_{n}\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\[g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \quad \text{et}\quad h_{n}(x) = 1 + 2x + \cdots + nx^{n-1}.\]

1. Vérifier que, pour tout réel \(x :\: (1 - x)g_{n}(x) = 1 - x^{n+1}\).
   On obtient alors, pour tout réel \(x \neq 1 :\:\: g_{n}(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}\).
2. Comparer les fonctions \(h_{n}\) et \(g'_{n}\), \(g'_{n}\) étant la dérivée de la fonction \(g_{n}\). En déduire que, pour tout réel \(x \neq 1 :\: h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}\).
3. Soit \(S_{n} = f(1) + f(2) + ... + f(n)\), \(f\) étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la  partie B , déterminer une expression de \(S_{n}\) puis sa limite quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).