Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013

Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur H\(_{1}\), 25 % de l'horticulteur H\(_{2}\) et le reste de l'horticulteur H\(_{3}\). Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur H\(_{1}\) comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur H\(_{2}\) n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur H\(_{3}\) seulement 30 %.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
   On envisage les événements suivants :
   • \(H_{1}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{1}\) »,
   • \(H_{2}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{2}\) »,
   • \(H_{3}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{3}\) »,
   • \(C\)  : «l'arbre choisi est un conifère »,
   • \(F\)  : «l'arbre choisi est un arbre feuillu ».
   
   
   1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
   2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H\(_{3}\).
   3. Justifier que la probabilité de l'évènement \(C\) est égale à \(0,525\).
   4. L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H\(_1\) ? On arrondira à \(10^{-3}\).
2. On choisit au hasard un échantillon de \(10\) arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de \(10\) arbres dans le stock. On appelle \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
   1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement \(5\) conifères?
      On arrondira à \(10^{-3}\).
   3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à \(10^{-3}\).