Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013
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Exercice 1 4 points
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur H\(_{1}\), 25 % de l'horticulteur H\(_{2}\) et le reste de l'horticulteur H\(_{3}\). Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur H\(_{1}\) comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur H\(_{2}\) n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur H\(_{3}\) seulement 30 %.
- Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :- \(H_{1}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{1}\) »,
- \(H_{2}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{2}\) »,
- \(H_{3}\) : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H\(_{3}\) »,
- \(C\) : «l'arbre choisi est un conifère »,
- \(F\) : «l'arbre choisi est un arbre feuillu ».
- Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
- Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H\(_{3}\).
- Justifier que la probabilité de l'évènement \(C\) est égale à \(0,525\).
- L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H\(_1\) ? On arrondira à \(10^{-3}\).
- On choisit au hasard un échantillon de \(10\) arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de \(10\) arbres dans le stock. On appelle \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
- Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement \(5\) conifères?
On arrondira à \(10^{-3}\). - Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à \(10^{-3}\).
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