Section d'un cube par un plan : un exemple ?

 Selon Centres étrangers juin 2012 On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On se place dans le repère orthonormal  \(( A ;\vec{AB}; \vec{AD};\vec{AE})\)

On considère les points \(I (1 ;\frac{1}{3},0)\), \(J(0 ;\frac{2}{3},1)\) et \(K(\frac{3}{4}; 0; 1)\)

 Représentons l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH .

Section cube

 

Pour créer la section du cube par le plan (IJK) ; on procède face par face:
Intersection avec la face du dessus (EFGH):


Les points J et K sont deux points du plans (IJK)
J est sur (EH) droite du plan (EFGH) et K est sur (EF) droite du plan (EFGH); ainsi (la droite (JK) est l’intersection du plan( IJK) avec le plan (EFGH).
La section du plan (IJK) avec la face (EFGH) est donc le segment [JK].

Intersection avec la face avant (BCGF):


On note S le point d’intersection des droites(JK) et (FG) deux droites sécantes plan (EFGH).
S est sur la droite (FG) droite de la face avant.
Les points S et I sont sur la face avant, et par ailleurs S appartient à (JK) droite du plan(IJK); ainsi (SJ) est une droite du plan (IJK).
La droite (SJ) est donc l’intersection du plan (IJK) et du plan (BCGF).
La droite (SJ) coupe la droite(BF) en Q.
La section du plan (IJK) avec avec la face (BCGF) est donc le segment [QI].

Intersection avec la face de gauche (ABFE):

La section du plan (IJK) avec le plan (ABFE) est le segment [KQ].
Intersection avec la face de droite (CDHG):
La droite (JK) coupe la droite (HG) en M.
La droite (SI) rencontre la droite (CG) en T.
T est un point de (SI) droite du plan (IJK)
M est un point de (JK) droite du plan (IJK)
donc la droite (MT) est une droite du plan (IJK),
par ailleurs M est un point de (HG) droite du plan (CDHG) et T est un point de de(CG) droite du plan (CDHG), ainsi (MT) est l’intersection de des plans (IJK) et ((CDHG).
Cette droite rencontre respectivement les droites(CD) et (DH) en L et P.
La section du plan (IJK) avec avec la face (CDHG) est donc le segment [LP].
On déduit donc les sections avec la face du dessous: le segment [IL]
et la section avec la face de derrière : le segment [JP].

En conclusion, la section du cube avec le plan (IJK) est l’hexagone: (JKQILP).

 Une figure dynamique ?

 

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