Géométrie vectorielle et produit scalaire, exercices ; série 3

 

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Exercice 1 : Liban 2014 (5 points)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte

\(\quad\)

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

On considère le plan \(\mathscr{P}\) d’équation \(x – y + 3z + 1 = 0\)

et la droite \(\mathscr{D}\) dont une représentation paramétrique est

\(\begin{cases}
x=2t\\\\
y=1+t\quad,\quad t\in\mathbb R \\\\
z=-5+3t
\end{cases}\)

On donne les points \(A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)\) et \(C(7~;1~;~-2)\)

\(\quad\)

Proposition 1 :

Une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) est

\(\begin{cases}
x=5-2t\\\\
y=-1+t\quad,\quad t\in\mathbb R \\\\
z=-2+t
\end{cases}\)

Proposition 2 :

Les droites \(\mathscr{D}\) et \((AB)\) sont orthogonales.

\(\quad\)

Proposition 3 :

Les droites \(\mathscr{D}\) et \((AB)\) sont coplanaires.

\(\quad\)

Proposition 4 :

La droite \(\mathscr{D}\) coupe le plan \(\mathscr{P}\) au point \(E\) de coordonnées \((8;~-3;~-4)\).

\(\quad\)

Proposition 5 :

Les plans \(\mathscr{P}\) et \((ABC)\) sont parallèles.

 

\(\quad\)

Corrigé
Exercice 2
Enoncé

Exercice 2 : Centres étrangers 2014 (5 points)

 

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :

\[\text{A}(1~;~2~;~7),\quad \text{B}(2~;~0~;~2),\quad \text{C}(3~;~1~;~3),\quad \text{D}(3~;~ -6~;~1) \:\:\text{et E}(4~;~-8~;~-4).\]

 

  1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    \(\quad\)
  2. Soit \(\vec{u}(1~;~b~;~c)\) un vecteur de l’espace, où \(b\) et \(c\) désignent deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs de \(b\) et \(c\) telles que \(\vec{u}\) soit un vecteur normal au plan (ABC).
    \(\quad\)
    b.
    En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(x – 2 y + z – 4 = 0\).
    \(\quad\)
    c. Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
    \(\quad\)
  3. On considère la droite \(\mathscr{D}\) de l’espace dont une représentation paramétrique est :
    \[\left\{\begin{array}{l c l}
    x& =& \phantom{-}2t+3\\\\
    y& =& – 4t + 5\\\\
    z& =&\phantom{-}2t-1
    \end{array}\right. \: \text{où}\: t\: \text{est un nombre réel.}\]
    a. La droite \(\mathscr{D}\) est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
    \(\quad\)
    b. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite \(\mathcal{D}\) et du plan (ABC).
  4. Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

Exercice 3 : Polynésie 2014 (5 points)

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points

\[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad \text{et D}(6~;~6~;~-1)\]

  1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
    \(\quad\)
  2. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (BCD).
    \(\quad\)
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
    \(\quad\)
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathscr{D}\) orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.
    \(\quad\)
  4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite \(\mathscr{D}\) et du plan (BCD).
    \(\quad\)
  5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
    \(\quad\)
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule \(\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\mathscr{B} \times h\), \(\mathscr{B}\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) la hauteur correspondante.
    \(\quad\)
  6. On admet que AB = \(\sqrt{76}\) et AC \(= \sqrt{61}\).
    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\).
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

Exercice 4 : Antilles – Guyane 2014 (4 points)

 

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

 

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((,O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\,)\).

On considère les points A\((1~;~2~;~5)\), B\((-1~;~6~;~4)\), C\((7~;~- 10~;~8)\) et D\((-1~;~3~;~4)\).

  1. Proposition 1 : Les points A, B et C définissent un plan.
    \(\quad\)
  2. On admet que les points A, B et D définissent un plan.
    Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan (ABD) est \(x – 2z + 9 = 0\).
    \(\quad\)
  3. Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite (AC) est
    \[\left\{\begin{array}{l c l}
    x &=& \dfrac{3}{2}t – 5\\\\
    y &=& – 3t + 14\\\\
    z &=&- \dfrac{3}{2}t + 2
    \end{array}\right. \quad t \in \mathbb R\]
    \(\quad\)
  4. Soit \(\mathscr{P}\) le plan d’équation cartésienne \(2x – y + 5z + 7 = 0\) et \(\mathscr{P}’\) le plan d’équation cartésienne \(- 3x – y + z + 5 = 0\).
    Proposition 4 : Les plans \(\mathscr{P}\) et \(\mathscr{P}’\) sont parallèles.
Corrigé
Exercice 5
Enoncé

Exercice 5 : Métropole sept 2014 (5 points)

 

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((,O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\,)\), on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées:

\[\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: \text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right)\]

 

  1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne \(4x + z\sqrt{2} = 4\).
    \(\quad\)
  2. On note \(\mathscr{D}\) la droite dont une représentation paramétrique est
    \[\begin{cases}
    x=t\\\\
    y=0 \qquad t \in \mathbb R \\\\
    z = t\sqrt{2}
    \end{cases}\]
    a. Démontrer que \(\mathscr{D}\) est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
    \(\quad\)
    b. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite \(\mathscr{D}\) et du plan (ABD).
    \(\quad\)
  3. a. On note L le milieu du segment [AC].
    Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
    \(\quad\)
    b. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
    \(\quad\)
  4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c’est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
Corrigé

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