Représentation paramétrique de droites et de plans, exercices, série 2

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

d’après Antilles-Guyane juin 2014

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\,)\).

 

On considère les points \(A(1;2;5)\), \(B(-1;6;4)\), \(C(7;-10;8)\) et \(D(-1;3;4)\).

  1. Proposition 1 : Les points \(A,B\) et \(C\) définissent un plan.
    \(\quad\)
  2. On admet que les points \(A,B\) et \(D\) définissent un plan.
    Proposition 2 : Une représentation paramétrique du plan \((ABD)\) est \[\begin{cases} x=-1 -2t \\y=4t – 3t’ \qquad t\in\mathbb R, t’\in\mathbb R \\ z=4-t \end{cases}\]
    \(\quad\)
  3. Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite \((AC)\) est \[\begin{cases} x=\dfrac{3}{2}t-5 \\y=-3t+14 \qquad t\in \mathbb R \\z=-\dfrac{3}{2}t+2 \end{cases}\]

\(\quad\)

Corrigé
Exercice 2
Enoncé

d’après Métropole juin 2014

Dans l’espace, on considère un tétraèdre \(ABCD\) dont les faces \(ABC\), \(ACD\) et \(ABD\) sont des triangles rectangles et isocèles en \(A\). On désigne par \(E, F\) et \(G\) les milieux respectifs des côtés \([AB]\), \([BC]\) et \([CA]\).

On choisit \(AB\) pour unité de longueur et on se place sans le repère orthonormé \(\left(A;\vec{AB};\vec{AC};\vec{AD}\right)\) de l’espace.

On désigne par \(\mathscr{P}\) le plan qui passe par \(A\) et qui est orthogonal à la droite \((DF)\).

On note \(H\) le point d’intersection du plan \(\mathscr{P}\) et de la droite \((DF)\).

  1. Donner les coordonnées des points \(D\) et \(F\).
    \(\quad\)
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite \((DF)\).
    \(\quad\)
  3. Une représentation paramétrique du plan \(\mathscr{P}\) est \(\begin{cases} x=t+t’ \\y=t+2t’ \qquad t \in \mathbb R, t’ \in \mathbb R\\z=t+3t’ \end{cases}\)
    \(\quad\)
    Calculer les coordonnées du point \(H\).
    \(\quad\)
  4. Démontrer que l’angle \(\widehat{EHG}\) est un angle droit.
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

divers 2014/2013

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte.

  1. Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points \(A(2;5;-1)\), \(B(3;2;1)\) et \(C(1;3;-2)\). Le triangle \(ABC\) est :
    a. rectangle et non isocèle
    \(\quad\)
    b. isocèle et non rectangle
    \(\quad\)
    c. rectangle et isocèle
    \(\quad\)
    d. équilatéral
    \(\quad\)
  2. Soit \(\mathscr{D}\) la droite de vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;1)\) passant par \(A(1;-1;-1)\). Une représentation paramétrique de la droite \(\mathscr{D}\) est :
    a. \(\begin{cases} x=2+t \\y=-1-t \qquad t\in \mathbb R \\z=1-t \end{cases}\)
    \(\quad\)
    b. \(\begin{cases} x=-1+2t \\y=1-t \qquad t\in \mathbb R\\z=1+t\end{cases}\)
    \(\quad\)
    c. \(\begin{cases} x=5+4t \\y=-3-2t \qquad t\in \mathbb R\\z=1+2t \end{cases}\)
    \(\quad\)
    d. \(\begin{cases} x=4-2t \\y=-2+t \qquad t \in \mathbb R\\z=3-4t \end{cases}\)
    \(\quad\)
  3. L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\,).
    On note \(\mathscr{D}\) la droite ayant pour représentation paramétrique \(\begin{cases} x=t+1 \\y=2t-1 \qquad t\in\mathbb R \\z=3t+2 \end{cases}\) et \(\mathscr{D}’\) la droite ayant pour représentation paramétrique \(\begin{cases} x=k+1 \\y=k+3 \qquad k\in \mathbb R \\z=-k+4 \end{cases}\)
    a. Les droites \(\mathscr{D}\) et \(\mathscr{D}’\) sont parallèles.
    \(\quad\)
    b. Les droites \(\mathscr{D}\) et \(\mathscr{D}’\) sont coplanaires.
    \(\quad\)
    c. Le point \(A(-3;5;4)\) appartient à la droite \(\mathscr{D}\).
    \(\quad\)
    d. Les droites \(\mathscr{D}\) et \(\mathscr{D}’\) sont orthogonales.
    \(\quad\)
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

d’après Amérique du Nord 2013

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

On considère les points \(A(0;4;1)\), \(B(1;3;0)\), \(C(2;-1;-2)\) et \(D(7;-1;4)\).

  1. Démontrer que les points \(A, B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
    \(\quad\)
  2. Déterminer une représentation paramétrique du plan \((ABC)\).
    \(\quad\)
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(D\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;3)\).
    \(\quad\)
  4. Déterminer les coordonnées du point \(H\), intersection de la droite \(\Delta\) et du plan \((ABC)\).
    \(\quad\)
  5. On considère la droite \(d\) dont une représentation paramétrique est \(\begin{cases} x=-4t-2\\y=t \qquad \qquad t\in \mathbb R\\z=3t+2\end{cases}\).
    La droite \(d\) et le plan \((ABC)\) sont-ils sécants ou parallèles?
    \(\quad\)
Corrigé

 

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