Lois à densité , exercices

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Métropole Septembre 2014

Dans cet exercice, on s’intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

  1. Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d’attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
    \(\quad\)
    On modélise ce temps d’attente en minutes par une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) où \(\lambda\) est un réel strictement positif. On rappelle que l’espérance mathématique de \(X\) est égale à \(\dfrac{1}{\lambda}\).
    \(\quad\)
    Une étude statistique a permis d’observer que le temps moyen d’attente pour obtenir une table est de \(10\) minutes.
    a. Déterminer la valeur de \(\lambda\).
    \(\quad\)
    b. Quelle est la probabilité qu’un client attende entre \(10\) et \(20\) minutes pour obtenir une table ? On arrondira à \(10^{-4}\).
    \(\quad\)
    c. Un client attend depuis \(10\) minutes. Quelle est la probabilité qu’il doive attendre au moins \(5\) minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à \(10^{-4}\).
    \(\quad\)
  2. Le deuxième restaurant a une capacité d’accueil de \(70\) places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu’une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à \(0,8\).
    \(\quad\)
    On note \(n\) le nombre de réservations prises par le restaurant et \(Y\) la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
    \(\quad\)
    On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire \(Y\) suit alors une loi binomiale.
    a. Préciser, en fonction de \(n\), les paramètres de la loi de la variable aléatoire \(Y\), son espérance mathématique \(E(Y)\) et son écart-type \(\sigma(Y)\).
    \(\quad\)
    b. Dans cette question, on désigne par \(Z\) une variable aléatoire suivant la loi normale \(\mathscr{N}\left(\mu, \sigma^2\right)\) de moyenne \(\mu = 64,8\) et d’écart-type \(\sigma = 3,6\).
    \(\quad\)
    Calculer la probabilité \(p_{1}\) de l’évènement \(\{Z \leqslant 71\}\) à l’aide de la calculatrice.
    \(\quad\)
    c. On admet que lorsque \(n = 81\), \(p_{1}\) est une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de la probabilité \(p(Y \leqslant 70)\) de l’évènement \(\{Y \leqslant 70\}\).
    \(\quad\)
    Le restaurant a reçu \(81\) réservations.
    Quelle est la probabilité qu’il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?
    \(\quad\)
Corrigé
Exercice 2
Enoncé

d’après Amérique du Nord mai 2013

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment les unes des autres

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne \(400\) grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins \(385\) grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à \(385\) grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à \(385\) grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire \(X\) suivant la loi normale d’espérance \(\mu = 400\) et d’écart-type \(\sigma = 11\).

Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline
P(X \leqslant x)&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline
\end{array}\]

  1. Calculer \(P(390 \leqslant X \leqslant 410)\).
    \(\quad\)
  2. Calculer la probabilité \(p\) qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
    \(\quad\)
  3. Le fabricant trouve cette probabilité \(p\) trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de \(\sigma\) sans modifier celle de \(\mu\).
    Pour quelle valeur de \(\sigma\) la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à \(96\%\) ? On arrondira le résultat au dixième.
    On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque \(Z\) est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance \(0\) et d’écart-type \(1\), on a \(P(Z \leqslant -1,751) \approx 0,040\).
    \(\quad\)

Partie B

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire \(T\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).

  1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant \(30\) jours est de \(0,913\). En déduire la valeur de \(\lambda\) arrondie au millième.
    \(\quad\)
    Dans toute la suite on prendra \(\lambda = 0,003\).
    \(\quad\)
  2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après \(90\) jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement \(60\) jours ?
    \(\quad\)
  3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
    \(\quad\)
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

Liban mai 2013

L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de \(50\) grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».

La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre \(0,16\) et \(0,18\). On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.

L’entreprise possède deux chaînes de fabrication \(F_{1}\) et \(F_{2}\).

 

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

La chaîne de production \(F_{2}\) semble plus fiable que la chaîne de production \(F_{1}\). Elle est cependant moins rapide.

Ainsi, dans la production totale, \(70\%\) des petits pots proviennent de la chaîne \(F_{1}\) et \(30\%\) de la chaîne \(F_{2}\).

La chaîne \(F_{1}\) produit \(5\%\) de compotes non conformes et la chaîne \(F_{2}\) en produit \(1\%\).

On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les événements :

\(E\) : « Le petit pot provient de la chaîne \(F_{2}\) »

\(C\) : « Le petit pot est conforme. »

\(\quad\)

  1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
    \(\quad\)
  2. Calculer la probabilité de l’événement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production \(F_{1}\). »
    \(\quad\)
  3. Déterminer la probabilité de l’événement \(C\).
    \(\quad\)
  4. Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la probabilité de l’événement \(E\) sachant que l’événement \(C\) est réalisé.
    \(\quad\)

Partie B

  1. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne \(F_{1}\), associe sa teneur en sucre.
    On suppose que \(X\) suit la loi normale d’espérance \(m_{1} = 0,17\) et d’écart-type \(\sigma_{1} = 0,006\).
    Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
    \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
    \alpha& \beta&P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)\\ \hline
    0,13 &0,15 &0,000~4\\ \hline
    0,14 &0,16 &0,047~8\\ \hline
    0,15 &0,17 &0,499~6 \\ \hline
    0,16 &0,18 &0,904~4\\ \hline
    0,17 &0,19 &0,499~6\\ \hline
    0,18 &0,20 &0,047~8\\ \hline
    0,19 &0,21 &0,000~4 \\ \hline
    \end{array}\]
    Donner une valeur approchée à \(10^{-4}\) près de la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne \(F_{1}\) soit conforme.
    \(\quad\)
  2. On note \(Y\) la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne \(F_{2}\), associe sa teneur en sucre.
    On suppose que \(Y\) suit la loi normale d’espérance \(m_{2} = 0,17\) et d’écart-type \(\sigma_{2}\).
    On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne \(F_{2}\) soit conforme est égale à \(0,99\).
    Soit Z la variable aléatoire définie par \(Z = \dfrac{Y – m_{2}}{\sigma_{2}}\).
    a. Quelle loi la variable aléatoire \(Z\) suit-elle ?
    \(\quad\)
    b. Déterminer, en fonction de \(\sigma_{2}\) l’intervalle auquel appartient \(Z\) lorsque \(Y\) appartient à l’intervalle \([0,16~;~0,18]\).
    \(\quad\)
    c. En déduire une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de \(\sigma_{2}\).
    On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire \(Z\) suit la loi normale d’espérance \(0\) et d’écart-type \(1\).
    \[\begin{array}{|c|c|}\hline
    \beta&P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta)\\ \hline
    2,432~4 &0,985\\ \hline
    2,457~3 &0,986\\ \hline
    2,483~8 &0,987\\ \hline
    2,512~1 &0,988\\ \hline
    2,542~7 &0,989\\ \hline
    2,575~8 &0,990\\ \hline
    2,612~1 &0,991\\ \hline
    2,652~1 &0,992\\ \hline
    2,696~8 &0,993\\ \hline
    \end{array}\]
    \(\quad\)
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

d’après Amérique du Nord mai 2014

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Conditionnement des pots

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de \(50\) mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale \(55\) mL.

On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de \(49\) mL de crème.

  1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale d’espérance \(\mu = 50\) et d’écart-type \(\sigma = 1,2\).
    Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
    \(\quad\)
  2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire \(X\), sans modifier son espérance \(\mu = 50\). On veut réduire à \(0,06\) la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
    On note \(\sigma’\) le nouvel écart-type, et \(Z\) la variable aléatoire égale à \(\dfrac{X – 50}{\sigma’}\)
    a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire \(Z\).
    \(\quad\)
    b. Déterminer une valeur approchée du réel \(u\) tel que \(p(Z \leqslant u) = 0, 06\).
    \(\quad\)
    c. En déduire la valeur attendue de \(\sigma’\).
    \(\quad\)
  3. Une boutique commande à son fournisseur \(50\) pots de cette nouvelle crème.
    On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est \(0,06\).
    Soit \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les \(50\) pots reçus.
    a. On admet que \(Y\) suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
    \(\quad\)
    b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
    \(\quad\)
Corrigé

 

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
167
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
7392846