Exercices corrigés, Calculs de limites

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Déterminer dans chacun des cas la limite demandée.

  1. \(\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6}\)
    \(\quad\)
  2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right)\)
    \(\quad\)
  3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{1-4x}{x-3}\)
    \(\quad\)
  4. \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{x^3}{4-2x}\)
    \(\quad\)
  5. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x}\)
    \(\quad\)
  6. \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}}\)
    \(\quad\)
  7. \(\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \dfrac{-2x}{3x+6}\)
Corrigé
Exercice 2
Enoncé

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5}\)
    \(\quad\)
  2. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}\)
    \(\quad\)
  3. \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}\)
    \(\quad\)
  4. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}\)
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

Déterminer les limites suivantes:

  1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1}\)
    \(\quad\)
  2. \(\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8}\)
    \(\quad\)
  3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}\)
    \(\quad\)
  4. \(\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81}\)
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\setminus \{-2;1 \}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+5x+1}{x^2+x-2}\).

Combien d’asymptotes possède la courbe représentative de cette fonction? Déterminer leur équation.

Corrigé
Exercice 5
Enoncé

Soient \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\setminus\{-1;1\}\) par \(f(x) = \dfrac{3x^2-4}{x^2-1}\) et \(\mathscr{C}_f\) sa courbe représentative.

\(\quad\)

  1. Montrer que \(\mathscr{C}_f\) possède une asymptote horizontale.
    \(\quad\)
  2. Etudier sa position relative par rapport à cette asymptote.
    \(\quad\)
  3. Déterminer \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x)\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x)\).
    \(\quad\)
  4. Que peut-on en déduire?
    \(\quad\)
  5. Existe-t-il une autre valeur pour laquelle cela soit également vrai?
Corrigé
 

Exercice 8

Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16

 

 

 

 

 

 

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