Limites et suite

Bonjour, je n'arrive pas à calculer la limite de la suite de terme général 

\[u_n=3^n-n\]

J'ai essayé la méthode du conjugué, du terme prépondérant et je n'aboutis à rien.
Si vous pouviez m' indiquer le raisonnement étape par étape.
Merci bien.

Une réponse :

Comme \(\ln a^n= n\ln a\), on déduit \(\ln\left(3^n\right)= n\ln 3\), puis en prenant l'exponentielle :
\(3^n=\text{e}^{n\ln 3}\).

\[\begin{array}{rl} u_n&=3^n-n \\ & =\text{e}^{n\ln 3}-n\\ &= \text{e}^{n\ln 3}\left( 1-\dfrac{n}{\text{e}^{n\ln 3}}\right) \\ &= \text{e}^{n\ln 3}\left( 1-\dfrac{1 }{\ln 3}\times \dfrac{n\ln 3}{\text{e}^{n\ln 3}}\right) \\ \end{array}\]

 

On utilise alors la limite de référence : \(\lim\limits_{t \to +\infty}~ \dfrac{\text{e}^t}{t}=+\infty\), par inverse on déduit \(\lim\limits_{t \to +\infty}~ \dfrac{t}{\text{e}^t}=0\) \[\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~n\ln 3=+\infty \\ \lim\limits_{t \to +\infty}~ \dfrac{t}{\text{e}^t}=0\end{array}\right\}\; \text{ par composée }\lim\limits_{n \to +\infty}~ \dfrac{n\ln 3}{\text{e}^{n\ln 3}}=0 \]\[\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~\left( 1-\dfrac{1 }{\ln 3}\times \dfrac{n\ln 3}{\text{e}^{n\ln 3}}\right) =1\\ \lim\limits_{n \to +\infty}~\text{e}^{n\ln 3}=+\infty \end{array}\right\} \quad \text{ par produit } \lim\limits_{n \to +\infty}~\text{e}^{n\ln 3}\left( 1-\dfrac{1 }{\ln 3}\times \dfrac{n\ln 3}{\text{e}^{n\ln 3}}\right) =+\infty\]

Conclusion : \(\lim\limits_{n \to +\infty}3^n-n= +\infty\)

 

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