DM 03 2nde 03 , fonctions polynômes du second degré ; on s'entraîne !

Exercice .

Le sujet en pdf ?

\(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB=8\) et \(AD=15\). \(M\) étant un point du segment \([AB]\), on construit le carré \(AMNP\) et le rectangle \(NICJ\) comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On pose \(AM=x\) et on note :

  • \(f(x)\) l'aire de la partie hachurée.
  • \(g(x)\) l'aire de la partie qui n'est pas hachurée.
  1. Dans quel intervalle varie \(x\) ?
    1. Montrer que \(f(x)= -2x^2+23x\)
    2. Donner le tableau de variation de la fonction \(f\).
    3. En déduire la valeur maximale de l'aire de la partie hachurée.
    1. Déterminer \(g(x)\) en fonction de \(x\).
    2. Donner le tableau de variation de la fonction \(g\).
    1. Montrer que pour tout réel \(x\), \[-2x^2+23x-30=-2\times\left[\left(x-\dfrac{23}{4}\right)^2 -\dfrac{289}{16}\right]\]
    2. Pour quelles valeurs du réel \(x\) l'aire de la partie hachurée est-elle égale au quart de l'aire du rectangle \(ABCD\) ?

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