DM 03 2nde 03 , fonctions polynômes du second degré : le corrigé

Exercice .

Le sujet en pdf ?

\(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB=8\) et \(AD=15\). \(M\) étant un point du segment \([AB]\), on construit le carré \(AMNP\) et le rectangle \(NICJ\) comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On pose \(AM=x\) et on note :

  • \(f(x)\) l'aire de la partie hachurée.
  • \(g(x)\) l'aire de la partie qui n'est pas hachurée.
  1. Dans quel intervalle varie \(x\) ?
  2. \(M\) est un point du segment \([AB]\) donc \(x\in[0;8]\).
    1. Montrer que \(f(x)= -2x^2+23x\)
    2. \(f(x)\) est égal à la somme des aires du rectangle \(MNJB\) et du rectangle \(PDIN\) d'où : \[\begin{array}{ll} f(x)&=x\times(8-x)+x\times(15-x)\\ &=8x-x^2+15x-x^2\\ &=-2x^2+23x \end{array}\]
      \(f\) est la fonction définie sur l'intervalle \([0;8]\) par \(f(x)==-2x^2+23x\).
    3. Donner le tableau de variation de la fonction \(f\).
    4. \(f\) est la restriction sur l'intervalle \([0;8]\) d'une fonction polynôme du second degré avec \(a=-2, b=23\) et \(c=0\).
      Comme \(a < 0\), la fonction \(f\) admet un maximum.
      Le maximum est atteint pour \(x=\alpha =-\dfrac{b}{2a}\) soit \(x=\dfrac{23}{4}\)
      Le tableau des variations de la fonction \(f\) est :

    5. En déduire la valeur maximale de l'aire de la partie hachurée.
    6. L'aire maximale de la partie hachurée est égale à 66,125.
    1. Déterminer \(g(x)\) en fonction de \(x\).
    2. \(g(x)\) est égal à la différence de l'aire du rectangle \(ABCD\) et de l'aire de la partie hachurée : \[\begin{array}{ll}g(x)&= 8\times 15−f(x)\\ &=120-(-2x^2+23x)\\ &=2x^2-23x+120 \end{array}\]
      \(g\) est la fonction définie sur l'intervalle \([0;8]\) par \(g(x)=2x^2-23x+120\).
    3. Donner le tableau de variation de la fonction \(g\).
    4. \(g\) est la restriction sur l'intervalle \([0;8]\) d'une fonction polynôme du second degré avec \(a=2, b=-23\) et \(c=120\).
      Comme \(a > 0\), la fonction \(f\) admet un minimum.
      Le minimum est atteint pour \(x=\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) soit \(x=\dfrac{23}{4}\)
      Le tableau des variations de la fonction \(g\) est :
    1. Montrer que pour tout réel \(x\), \[-2x^2+23x-30=-2\times\left[\left(x-\dfrac{23}{4}\right)^2 -\dfrac{289}{16}\right]\]
    2. Ainsi, pour tout réel \(x, -2x^2+23x-30=-2\times\left[\left(x-\dfrac{23}{4}\right)^2−\dfrac{289}{16}\right]\).
    3. Pour quelles valeurs du réel \(x\) l'aire de la partie hachurée est-elle égale au quart de l'aire du rectangle \(ABCD\) ?
    4. L'aire de la partie hachurée est-elle égale au quart de l'aire du rectangle pour les réels \(x\) de l'intervalle \([0;8]\) solutions de l'équation : \[\begin{array}{ll} f(x)=\dfrac{120}{4}&\iff -2x^2+23x=30\\ &\iff -2x^2+23x-30=0\\ &\iff -2\times\left[\left(x-\dfrac{23}{4}\right)^2-\dfrac{289}{16}\right]=0\\ &\iff-2\times\left(x-\dfrac{23}{4}-\dfrac{17}{4}\right)\left(x-\dfrac{23}{4}+\dfrac{17}{4}\right)=0\\ &\iff-2\times(x-10)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)=0\\ \end{array}\]L'équation \(-2\times(x-10)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)=0 \) admet deux solutions \(x=10\) ou \(x=\dfrac{3}{2}\). Comme \(\dfrac{3}{2}\) est la seule valeur appartenant à l'intervalle \([0;8]\) :
      L'aire de la partie hachurée est égale au quart de l'aire du rectangle pour \(x=1,5\).

 

 

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